Question

已知點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC
（1）如圖1，若點O在BC上，求證：AB=AC．
（2）如圖2，若點O在△ABC內部，求證：AB=AC．
（3）猜想，若O點在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？

Answer 1

分析：（1）首先過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易證得Rt△BOD≌Rt△COE，即可得∠B=∠C，根據(jù)等角對等邊的性質，即可證得AB=AC；
（2）首先過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易證得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根據(jù)等邊對等角的性質，易證得∠ABC=∠ACB，根據(jù)等角對等邊的性質，AB=AC；
（3）首先過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延長線于點E，易證得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根據(jù)等邊對等角的性質，易證得∠ABC=∠ACB，根據(jù)等角對等邊的性質，AB=AC．

解答：證明：（1）過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，
則OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵

OD=OE OB=OC

，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；

（2）過點O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
則OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵

OD=OE OB=OC

，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠DBO=∠ECO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）不一定成立．
證明：如圖3，過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延長線于點E，
則OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵

OD=OE OB=OC

，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠DBO=∠ECO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠DBC=∠ECB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
如圖4，可知AB≠AC．

點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質以及直角三角形全等的判定與性質．此題難度不大，注意數(shù)形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法．