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        1. 已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,以BC邊為直徑作半圓O,P為DC上一動(dòng)點(diǎn)(可與D重合但不與C重合),連接BP交半圓O于點(diǎn)E,過點(diǎn)O作直線l∥CE交AB(或AD)于點(diǎn)Q.
          (1)如圖1,求證:△OBQ∽△PEC;
          (2)設(shè)DP=t(0≤t<2),直線l截正方形所得左側(cè)部分圖形的面積為S,試求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)當(dāng)點(diǎn)Q落在AD(不含端點(diǎn))上時(shí),問以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能否是等腰三角形?若能,請(qǐng)指出此時(shí)點(diǎn)P的位置;若不能,請(qǐng)說明理由.
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          分析:(1)首先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠BEC=90°,而正方形的內(nèi)角也為直角,從而得到∠BEC=∠QBC,又根據(jù)兩直線平行得同位角的相等以及同角的余角相等得到∠BOQ=∠BPC,根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似,進(jìn)而得證;
          (2)根據(jù)時(shí)間t的范圍分兩種情況考慮:當(dāng)0≤t≤1時(shí),Q在AB上,直線l截正方形所得左側(cè)部分圖形為直角三角形,由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△OBQ∽△PBC,得到比例式,求出QB的長(zhǎng),以及OB的長(zhǎng),求出三角形的面積即為所求的S;當(dāng)1<t<2時(shí),Q在AD上,此時(shí)S表示梯形ABOQ面積,過點(diǎn)Q作QM⊥BC,交BC于點(diǎn)M,利用“ASA”證明△QOM≌△BPC,得到OM=CP,表示出CP得到OM的長(zhǎng),再表示出AQ的長(zhǎng),根據(jù)梯形的面積公式即可求出S;
          (3)利用反證法,方法是根據(jù)圖形表示出三角形OPQ的三邊,分別假設(shè)其中的兩者相等,推出矛盾,假設(shè)錯(cuò)誤,故以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形不可能是等腰三角形.
          解答:解:(1)∵直徑所對(duì)的圓周角為90°,
          ∴∠BEC=90°=∠QBC,
          ∵直線l∥CE交AB(或AD)于點(diǎn)Q.
          ∴∠BOQ=∠BCE,
          又∠BCE+∠PCE=90°,∠PCE+∠BPC=90°,
          ∴∠BOQ=∠BPC,
          ∴△OBQ∽△PEC;

          (2)當(dāng)0≤t≤1時(shí),Q在AB上,
          ∵∠OBQ=∠PCB=90°,
          又∵∠PBC+∠QOB=90°,∠QOB+∠BQO=90°,
          ∴∠PBC=∠BQO,
          ∴△OBQ∽△PBC,
          ∴QB:BC=BO:PC,即QB:2=1:(2-t),
          解得:QB=
          2
          2-t
          ,又OB=
          1
          2
          BC=1,
          則S=
          1
          2
          OB•QB=
          1
          2-t

          當(dāng)1<t<2時(shí),Q在AD上,此時(shí)S表示梯形ABOQ面積,
          根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示:
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          過點(diǎn)Q作QM⊥BC,交BC于點(diǎn)M,
          ∵ABCD為正方形,
          ∴∠QMO=∠BCP=90°,AB=BC=QM,
          又∠QOM+∠OQM=90°,∠QOM+∠PBC=90°,
          ∴∠OQM=∠PBC,
          ∴△QOM≌△BPC,
          又DP=t,DC=2,得到:CP=2-t,
          ∴OM=PC=2-t,
          ∴AQ=1-(2-t)=t-1,
          則S=
          2(t-1+1)
          2
          =t;
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          (3)當(dāng)Q在AD上(不含端點(diǎn))上時(shí),
          連接PQ,由QM=2,OM=2-t,
          根據(jù)勾股定理得:OQ2=4+(2-t)2=t2-4t+8,
          又QD=2-(t-1)=3-t,DP=t,
          根據(jù)勾股定理得:QP2=(3-t)2+t2=2t2-6t+9,
          連接OP,由PC=2-t,OC=1,
          根據(jù)勾股定理得:OP2=12+(2-t)2=t2-4t+5,
          顯然OP≠OQ;
          假設(shè)OP=PQ,即2t2-6t+9=t2-4t+5,
          解得t=2,
          P與C重合,不合題意,假設(shè)錯(cuò)誤,故OP≠PQ,
          若OQ=PQ,t2-4t+8=2t2-6t+9,
          整理得:t2-2t+1=0,即(t-1)2=0,
          解得:t=1,
          不合題意,假設(shè)錯(cuò)誤,故OQ≠PQ;
          ∴當(dāng)Q落在AD(不含端點(diǎn))上時(shí),以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形不可能是等腰三角形.
          點(diǎn)評(píng):此題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)與判定,正方形的性質(zhì)以及勾股定理.學(xué)生作(2)時(shí)注意根據(jù)Q的位置分兩種情況考慮,(3)采用的方法是反證法,注意反證法的步驟:先否定結(jié)論,根據(jù)推理得到與已知,定理及公理矛盾,得到假設(shè)錯(cuò)誤,所以原命題正確.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm,E為CD邊上一點(diǎn),DE=5cm.以點(diǎn)A為中心,將△ADE按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得△ABF,則點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為
           
          cm.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,以D為圓心,DA為半徑在正方形內(nèi)作弧AC,E是AB邊上動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重精英家教網(wǎng)合),過點(diǎn)E作弧AC的切線,交BC于點(diǎn)F,G為切點(diǎn),⊙O是△EBF的內(nèi)切圓,分別切EB、BF、FE于點(diǎn)P、J、H
          (1)求證:△ADE∽△PEO;
          (2)設(shè)AE=x,⊙O的半徑為y,求y關(guān)于x的解析式,并寫出定義域;
          (3)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí),求CF的長(zhǎng);
          (4)當(dāng)點(diǎn)E在移動(dòng)時(shí),圖中哪些線段與線段EP始終保持相等,請(qǐng)說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•同安區(qū)質(zhì)檢)如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,E是AB的中點(diǎn),延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F使CF=AE.
          (1)求證:△ADE≌△CDF;
          (2)現(xiàn)把△DCF向左平移,使DC與AB重合,得△ABH,AH交ED于點(diǎn)G.求AG的長(zhǎng).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•香洲區(qū)一模)如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為28,動(dòng)點(diǎn)P從A開始在線段AD上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)終止運(yùn)動(dòng)),動(dòng)直線EF從AD開始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向下平行移動(dòng)(即EF∥AD),并且分別與DC、AC交于E、F兩點(diǎn),連接FP,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒.
          (1)t為何值時(shí),梯形DPFE的面積最大?最大面積是多少?
          (2)當(dāng)梯形DPFE的面積等于△APF的面積時(shí),求線段PF的長(zhǎng).
          (3)△DPF能否為一個(gè)等腰三角形?若能,試求出所有的t的值;若不能,請(qǐng)說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°.當(dāng)EF=8cm時(shí),△AEF的面積是
          32
          32
          cm2;當(dāng)EF=7cm時(shí),△EFC的面積是
          8
          8
          cm2

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