Question

若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為系數(shù)且為常數(shù)）的兩個(gè)根，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．這個(gè)定理叫做韋達(dá)定理．
如：x₁，x₂是方程x²+2x-1=0的兩個(gè)根，則x₁+x₂=-2、x₁•x₂=-1
已知：M、N是方程x²-x-1=0的兩根，
記S₁=M+N；S₂=M²+N²，…S_n=M^m+Nⁿ

(1)S1=_____，S2=______，S3=_______，S4=_______，(直接寫(xiě)出答案) (2)當(dāng)n為不小于3的整數(shù)時(shí)，有(1)猜想Sn、Sn-1、Sn-2之間有何關(guān)系？ (3)利用(2)猜想[ 1+ 5 2 ]8+[ 1- 5 2 ]8

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理得到M+N=1，MN=-1，即可得到S₁=1，然后利用完全平方公式、立方和公式分別計(jì)算出S₂，S₃，S₄；
（2）觀察（1）的計(jì)算結(jié)果可得到S_n=S_n-1+S_n-2；
（3）由于方程x²-x-1=0的兩根為x₁=

1+ 5

2

，x₂=

1- 5

2

，則原式=S₈，然后利用（2）中的規(guī)律可計(jì)算出S₅=11，S₆=18，S₇=29，S₈=47，從而得到原式的值．

解答：解：（1）∵M(jìn)+N=1，MN=-1，
∴S₁=1，S₂=（M+N）²-2MN=1²-2×（-1）=3，S₃=（M+N）（M²-MN+N²）=1×（3+1）=4，S₄=（M²+N²）²-2M²N²=3²-2×（-1）²=7；

（2）S_n=S_n-1+S_n-2；

（3）∵方程x²-x-1=0的兩根為x₁=

1+ 5

2

，x₂=

1- 5

2

，
∴原式=S₈，
∵S₅=S₃+S₄=11，S₆=S₄+S₅=18，S₇=S₄+S₅=29，S₈=S₇+S₆=47，
∴原式=47．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．