Question

定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段PQ長度的最小值叫做線段a與線段b的距離．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角系中四點．根據(jù)上述定義，

（1）當m=2，n=2時，如圖1，線段BC與線段OA的距離是

2

，
（2）當m=5，n=2時，如圖2，線段BC與線段OA的距離（即線段AB的長）為

5

（3）如圖3，若點B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關于m的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）理解新定義，按照新定義的要求求出距離；
（2）按照新定義的要求，得出AB=

AN2+BN2

求出即可．
（3）如圖2所示，當點B落在⊙A上時，m的取值范圍為2≤m≤6：當4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；當2≤m＜4時，作BN⊥x軸于點N，線段BC與線段OA的距離等于BN長．

解答：解：（1）當m=2，n=2時，
如圖1，線段BC與線段OA的距離等于平行線之間的距離，即為2；
故答案為：2；

（2）當m=5，n=2時，
B點坐標為（5，2），線段BC與線段OA的距離，即為線段AB的長，
如圖2，過點B作BN⊥x軸于點N，則AN=1，BN=2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=

AN2+BN2

=

12+22

=

5

．
故答案為：

5

；

（3）如圖3所示，當點B落在⊙A上時，m的取值范圍為：2≤m≤6：
當4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；
當2≤m＜4時，作BN⊥x軸于點N，線段BC與線段OA的距離等于BN長，
ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：
故d=

22-(4-m)2

=

4-16+8m-m2

=

-m2+8m-12

（2≤m＜4）．
故d=

-m2+8m-12 (2≤m＜4) 2                   (4≤m≤6)

．

點評：本題考查了圓的相關性質、點的坐標、勾股定理等重要知識點，根據(jù)新定義得出線段之間距離是解決本題的關鍵．