Question

【題目】如圖所示，已知△ABC中，AC=BC=6，∠C=90°．O是AB的中點，⊙O與AC相切于點D、與BC相切于點E．設⊙O交OB于F，連DF并延長交CB的延長線于G．

（1）∠BFG與∠BGF是否相等?為什么?

（2）求由DG、GE和所圍成的圖形的面積（陰影部分）．

Answer 1

【答案】（1）∠BFG=∠BGF；理由見解析；（2）-．

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)切線的性質可得出：OD∥GC，從而得出∠BGF=∠ODF．，由OD=OF得出∠ODF=∠OFD．然后利用等量代換可得∠BFG=∠BGF；（2）連接OE，根據(jù)陰影部分的面積=△DCG的面積-（正方形ODCE的面積 - 扇形ODE的面積）計算即可．

（1）∠BFG=∠BGF

連接OD，

∵ OD=OF（⊙O的半徑），

∴ ∠ODF=∠OFD．

∵ ⊙O與AC相切于點D，

∴ OD⊥AC

又∵ ∠C=90°，即GC⊥AC，

∴ OD∥GC，

∴ ∠BGF=∠ODF．

又∵ ∠BFG=∠OFD，

∴ ∠BFG=∠BGF．

（2）如圖所示，連接OE，則ODCE為正方形且邊長為3．

∵ ∠BFG=∠BGF，

∴ BG=BF=OB-OF=，

從而CG=CB+BG=

∴ 陰影部分的面積=△DCG的面積-（正方形ODCE的面積 - 扇形ODE的面積）