Question

如圖，圓O的直徑為5，在圓O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，已知BC：CA=4：3，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B重合），過C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點．
（1）求證：AC•CD=PC•BC；
（2）當點P運動到AB弧中點時，求CD的長；
（3）當點P運動到什么位置時，△PCD的面積最大？并求這個最大面積S．

Answer 1

分析：（1）由圓周角定理知∠A=∠P，而∠ACB=∠PCD=90°，故有△ABC∽△PCD?

AC

CP

=

BC

CD

?AC•CD=PC•BC；
（2）當點P運動到AB弧中點時，過點B作BE⊥PC于點E．由題意知∠PCB=45°，CE=BE，而又∠CAB=∠CPB，得tan∠CPB=tan∠CAB=

4

3

．代入數值可求得PE的值，從而PC=PE+EC，由（1）知CD=

4

3

PC，即可求出；
（3）由題意知，S_△PCD=

1

2

PC•CD．由（1）可知，CD=

4

3

PC．有S_△PCD=

2

3

PC²．故PC最大時，S_△PCD取得最大值；而PC為直徑時最大，故可求解．

解答：（1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°．
又∵PC⊥CD，
∴∠PCD=90°．
而∠CAB=∠CPD，
∴△ABC∽△PDC．
∴

AC

CP

=

BC

CD

．
∴AC•CD=PC•BC；（3分）

（2）解：當點P運動到AB弧中點時，過點B作BE⊥PC于點E．
∵AB為直徑，AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4．
∵P是

AB

的中點，
∴∠PCB=45°，
∴CE=BE=

2

2

BC=2

2

．
又∠CAB=∠CPB，
∴tan∠CPB=tan∠CAB=

4

3

．
∴PE=

BE

tan∠CPB

=

3

4

(

2

2

BC)=

3 2

2

．
從而PC=PE+EC=

7 2

2

，
由（1）得CD=

4

3

PC=

14 2

3

（7分）

（3）解：當點P在AB上運動時，S_△PCD=

1

2

PC•CD．由（1）可知，CD=

4

3

PC．
∴S_△PCD=

1

2

CD×PC=

1

2

×

4

3

PC×PC=

2

3

PC²．故PC最大時，S_△PCD取得最大值；
而PC為直徑時最大，
∴S_△PCD的最大值S=

2

3

×5²=

50

3

．（10分）

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，圓內的圓周角，直徑與圓周角的關系，以及正切的概念．