Question

如圖，⊙O的半徑為1，直線CD經過圓心O，交⊙O于C、D兩點，直徑AB⊥CD，點M是直線CD上異于點C、O、D的一個動點，AM所在的直線交于⊙O于點N，點P是直線CD上另一點，且PM=PN．

（1）當點M在⊙O內部，如圖一，試判斷PN與⊙O的關系，并寫出證明過程；

（2）當點M在⊙O外部，如圖二，其它條件不變時，（1）的結論是否還成立？請說明理由；

（3）當點M在⊙O外部，如圖三，∠AMO=15°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：

圓的綜合題．

分析：

（1）根據切線的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA進而求出即可；

（2）根據已知得出∠PNM+∠ONA=90°，進而得出∠PNO=180°﹣90°=90°即可得出答案；

（3）首先根據外角的性質得出∠AON=30°進而利用扇形面積公式得出即可．

解答：

（1）PN與⊙O相切．

證明：連接ON，

則∠ONA=∠OAN，

∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．

∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．

∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．

即PN與⊙O相切．

（2）成立．

證明：連接ON，

則∠ONA=∠OAN，

∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．

在Rt△AOM中，

∴∠OMA+∠OAM=90°，

∴∠PNM+∠ONA=90°．

∴∠PNO=180°﹣90°=90°．

即PN與⊙O相切．

（3）解：連接ON，由（2）可知∠ONP=90°．

∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，

∵∠PON=60°，∠AON=30°．

作NE⊥OD，垂足為點E，

則NE=ON•sin60°=1×=．

S_陰影=S_△AOC+S_扇形AON﹣S_△CON=OC•OA+CO•NE

=×1×1+π﹣×1×

=+π﹣．

點評：

此題主要考查了扇形面積公式以及切線的判定等知識，熟練根據切線的判定得出對應角的度數是解題關鍵．