Question

四邊形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，連接DF，G為DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，EC．
（1）如圖1，若點(diǎn)E在CB邊的延長線上，直接寫出EG與GC的位置關(guān)系及

EC

GC

的值；
（2）將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，請問（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），若BE=1，AB=

2

，當(dāng)E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線時(shí)，求DF的長及tan∠ABF的值．

Answer 1

分析：（1）過G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H為EC中點(diǎn)，根據(jù)梯形的中位線求出EG=GC，GH=

1

2

（EF+DC）=

1

2

（EB+BC），推出GH=EH=BC，根據(jù)直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可；
（2）延長EG到H，使EG=GH，連接CH、EC，過E作BC的垂線EM，延長CD，證△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，證出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；
（3）連接BD，求出cos∠DBE=

BE

BD

=

1

2

，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可．

解答：解：（1）EG⊥CG，

EC

GC

=

2

，
理由是：過G作GH⊥EC于H，
∵∠FEB=∠DCB=90°，
∴EF∥GH∥DC，
∵G為DF中點(diǎn)，
∴H為EC中點(diǎn)，
∴EG=GC，GH=

1

2

（EF+DC）=

1

2

（EB+BC），
即GH=EH=HC，
∴∠EGC=90°，
即△EGC是等腰直角三角形，
∴

EC

GC

=

2

；

（2）
解：結(jié)論還成立，
理由是：如圖2，延長EG到H，使EG=GH，連接CH、EC，過E作BC的垂線EM，延長CD，
∵在△EFG和△HDG中

GF=GD ∠FGE=∠DGH EG=HG

∴△EFG≌△HDG（SAS），
∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，
∴EF∥DH，
∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，
∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC，
在△EBC和△HDC中

BE=DH ∠EBC=∠HDC BC=CD

∴△EBC≌△HDC．
∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，
∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，
∴△ECH是等腰直角三角形，
∵G為EH的中點(diǎn)，
∴EG⊥GC，

EC

GC

=

2

，
即（1）中的結(jié)論仍然成立；

（3）
解：連接BD，
∵AB=

2

，正方形ABCD，
∴BD=2，
∴cos∠DBE=

BE

BD

=

1

2

，
∴∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°，
∴∠ABF=45°-15°=30°，
∴tan∠ABF=

3

3

，
∴DE=

3

BE=

3

，
∴DF=DE-EF=

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，梯形的中位線，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．