Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點P在AB上，AP=2，點E、F同時從點P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后立即以原速度沿AB向點B運動，點E運動到點B時停止，點F也隨之停止．在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)．設(shè)E、F運動的時間為t秒（t＞0），正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S．
（1）當點E由P向A運動過程中，請求出點H恰好落在AC邊上時，t的值；
（2）當0＜t≤2時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)AC的中點為N，是否存在這樣的t，使△NEF為等腰三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得t的值；
（2）正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形；可分三段分別解答：①當0＜t≤

6

11

時；②當

6

11

＜t≤

6

5

時；③當

6

5

＜t≤2時；依次求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）以N為頂點，以F為頂點，以E為頂點，分三種情況討論即可求得t的值．

解答：解：（1）依題意有

2t

2-t

=

6

8

，
解得t=

6

11

；      

（2）當正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀為正方形時，
0＜t≤

6

11

時，S=2t×2t=4t²；
當

6

11

＜t≤

6

5

時，
S=4t2-

1

2

[2t-

3

4

(2-t)]•

4

3

•[2t-

3

4

(2-t)]
=4t2-

2

3

(

11

4

t-

3

2

)2
=-

25

24

t2+

11

2

t-

3

2

；
當

6

5

≤t≤2時，
S=

1

2

[

3

4

(2-t)+

3

4

(2+t)]•2t=3t；

（3）t的值為

16

5

或2或

42

5

或

22

5

．

點評：此題主要考查了動點函數(shù)問題，其中應(yīng)用到了相似形、等腰三角形的性質(zhì)、正方形及勾股定理的性質(zhì)，分類思想的運用，鍛煉了學生運用綜合知識解答題目的能力．