Question

如圖(1),在△ABC中,AB=BC,P為AB邊上一點,連接CP,以PA、PC為鄰邊作APCD，AC與PD相交于點E，已知∠ABC=∠AEP=(0°<<90°).
(1)求證: ∠EAP=∠EPA;
(2) APCD是否為矩形?請說明理由;
(3)如圖(2),F為BC中點,連接FP,將∠AEP繞點E順時針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?得到∠MEN(點M、N分別是∠MEN的兩邊與BA、FP延長線的交點).猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

證明：(1)在△ABC和△AEP中,
 ∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP,
∠ACB=∠APE,
在△ABC中,AB=BC.∠ACB=∠BAC,
∠EPA=∠EAP,
(2) APCD是矩形.
  四邊形APCD是平行四邊形,
  AC=2EA,PD=2EP.
由(1)知, ∠EPA=∠EAP.
EA=EP，進而AC=PD
 APCD是矩形.
(3)EM=EN
 EA=EP, ∠EPA=90° -
∠EAM=180°-∠EAP =180°-∠EPA= 180°-(90°-)=90°+
由(2)知, ∠CPB=90°,F是BC的中點,  FP=FB,
 ∠FPB=∠ABC=，
 ∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90° - +=90°+
 ∠EAM=∠EPN
∠AEP繞點E順時針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌�，得到∠MEN，
 ∠AEP-∠AEN =∠MEN-∠AEN,即∠MEA=∠NEP.
 △EAM≌△EPN,
 EM=EN.

（1）根據(jù)AB=BC可證∠CAB=∠ACB，則在△ABC與△AEP中，有兩個角對應(yīng)相等，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可證得；
（2）由（1）知∠EPA=∠EAP，則AC=DP，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可求證；
（3）可以證明△EAM≌△EPN，從而得到EM=EN．