Question

【題目】如圖，已知內(nèi)接于⊙，直徑交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．過(guò)點(diǎn)作⊙的切線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．

(1)若，求的度數(shù)；

(2)若，求證：；

(3)在(2)的條件下，連接，設(shè)的面積為，的面積為，若，求的值

Answer 1

【答案】（1）50°；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）連接BD，如圖，利用切線(xiàn)性質(zhì)和圓周角定理得到∠ADG=∠ABD=90°，再利用等角的余角相等得到∠ADB=∠G=50°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠ACB的度數(shù)；

（2）連接CD，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABE=∠AEB，∠ODC=∠OCD，再利用圓周角定理得到∠ABC=∠ADC，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可判斷∠BAD=∠DOC；

（3）先證明△ABD∽△OFC得到,設(shè)則 則利用三角形面積公式得到則可設(shè)OF=4k，則OA=5k，利用勾股定理計(jì)算出CF，然后根據(jù)正切的定義求解．

（1）解：連接BD，如圖，

∵DG為切線(xiàn)，

∴AD⊥DG， ∴∠ADG=90°，

∵AD為直徑， ∴∠ABD=90°，

∠GDB+∠G=90°，∠ADB+∠GDB=90°，

∴∠ADB=∠G=50°，

∴∠ACB=∠ADB=50°；

（2）證明：連接CD，如圖，

∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB，

∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD，

而∠ABC=∠ADC， ∴∠ABE=∠AEB=∠ODC=∠OCD，

∴∠BAD=∠FOC；

（3）解：∵∠BAD=∠FOC，∠ABD=∠OFC，

∴△ABD∽△OFC，

∴，

∵

設(shè) 則

∴

∴

∵

∴設(shè)OF=4k，則OA=5k，

在Rt△OCF中，OC=5k， CF=

∴tan∠CAF=