Question

已知如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求證CE=

1

2

BD．

Answer 1

分析：分別延長(zhǎng)CE、BA，它們交于F點(diǎn)，由BE平分∠ABC，CE⊥BE，得到△BCF為等腰三角形，F(xiàn)C=2EC；易證得Rt△≌Rt△ACF，則根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，BD=CF，即可得到結(jié)論．

解答：證明：分別延長(zhǎng)CE、BA，它們交于F點(diǎn)，如圖：
∵BE平分∠ABC，CE⊥BE，
∴△BCF為等腰三角形，F(xiàn)C=2EC，
∵∠BAC=∠BEC=90°，∠ADB=∠EDC，
∴∠2=∠3，
而AB=AC，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF，
∴BD=CF，
∴CE=

1

2

BD．

也可采用下面的證法：
證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=

2

AB，
∵BE平分∠ABC，
∴AD：DC=AB：BC=1：

2

，
設(shè)AD=1，則DC=

2

，AB=1+

2

，
∴BD²=（1+

2

）²+1²=4+2

2

，
又∵CE⊥BE，
∴Rt△DAB∽R(shí)t△DEC，
∴

EC

AB

=

DC

BD

，即EC²：（1+

2

）²=（

2

）²：（4+2

2

），
∴EC²=

2+ 2

2

，
∴EC²：BD²=1：4，
∴CE=

1

2

BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．特別是底邊上的高，中線和頂角的角平分線合一．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．