Question

（2013•南寧）如圖，在邊長為2的正三角形中，將其內(nèi)切圓和三個角切圓（與角兩邊及三角形內(nèi)切圓都相切的圓）的內(nèi)部挖去，則此三角形剩下部分（陰影部分）的面積為

3

-

4

9

π

．

Answer 1

分析：連接OB，以及⊙O與BC的切點(diǎn)，在構(gòu)造的直角三角形中，通過解直角三角形易求得⊙O的半徑，然后作⊙O與小圓的公切線EF，易知△BEF也是等邊三角形，那么小圓的圓心也是等邊△BEF的重心；由此可求得小圓的半徑，即可得到四個圓的面積，從而由等邊三角形的面積減去四個圓的面積和所得的差即為陰影部分的面積．

解答：解：如圖，連接OB、OD；
設(shè)小圓的圓心為P，⊙P與⊙O的切點(diǎn)為G；過G作兩圓的公切線EF，交AB于E，交BC于F，
則∠BEF=∠BFE=90°-30°=60°，所以△BEF是等邊三角形．
在Rt△OBD中，∠OBD=30°，
則OD=BD•tan30°=1×

3

3

=

3

3

，OB=2OD=

2 3

3

，BG=OB-OG=

3

3

；
由于⊙P是等邊△BEF的內(nèi)切圓，所以點(diǎn)P是△BEF的內(nèi)心，也是重心，
故PG=

1

3

BG=

3

9

；
∴S_⊙O=π×（

3

3

）²=

1

3

π，S_⊙P=π×（

3

9

）²=

1

27

π；
∴S_陰影=S_△ABC-S_⊙O-3S_⊙P=

3

-

1

3

π-

1

9

π=

3

-

4

9

π．
故答案為

3

-

4

9

π．

點(diǎn)評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相切兩圓的性質(zhì)以及圖形面積的計算方法，難度適中．