Question

【題目】已知拋物線y＝x2+（1﹣2a）x﹣2a（a是常數(shù)）．

（1）證明：該拋物線與x軸總有交點(diǎn)；

（2）設(shè)該拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（m，0），若2＜m≤5，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若a為整數(shù)，將拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象G，請(qǐng)你結(jié)合新圖象，探究直線y＝kx+1（k為常數(shù)）與新圖象G公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1＜a≤；（3）新圖象G公共點(diǎn)有2個(gè)．

【解析】

（1）令拋物線的y值等于0，證所得方程的△＞0即可；

（2）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入可求m的值，即可求a的取值范圍；

（3）分k＞0和k＜0兩種情況討論，結(jié)合圖象可求解．

解：（1）設(shè)y＝0，則0＝x2+（1﹣2a）x﹣2a，

∵△＝（1﹣2a）2﹣4×1×（﹣2a）＝（1+2a）2≥0，

∴x2+（1﹣2a）x﹣2a＝0有實(shí)數(shù)根，

∴該拋物線與x軸總有交點(diǎn)；

（2）∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（m，0），

∴0＝m2+（1﹣2a）m﹣2a，

∴m＝﹣1，m＝2a，

∵2＜m≤5，

∴2＜2a≤5，

∴1＜a≤；

（3）∵1＜a≤，且a為整數(shù)，

∴a＝2，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣3x﹣4，

如圖，當(dāng)k＞0時(shí)，

若y＝kx+1過點(diǎn)（﹣1，0）時(shí)，直線y＝kx+1（k為常數(shù)）與新圖象G公共點(diǎn)有3個(gè)，

即k＝1，

當(dāng)0＜k＜1時(shí)，直線y＝kx+1（k為常數(shù)）與新圖象G公共點(diǎn)有4個(gè)，

當(dāng)k＞1時(shí)，直線y＝kx+1（k為常數(shù)）與新圖象G公共點(diǎn)有2個(gè)，

如圖，當(dāng)k＜0時(shí)，

若y＝kx+1過點(diǎn)（4，0）時(shí)，直線y＝kx+1（k為常數(shù)）與新圖象G公共點(diǎn)有3個(gè)，

即k＝﹣，

當(dāng)﹣＜k＜0時(shí)，直線y＝kx+1（k為常數(shù)）與新圖象G公共點(diǎn)有4個(gè)，

當(dāng)k＜﹣時(shí)，直線y＝kx+1（k為常數(shù)）與新圖象G公共點(diǎn)有2個(gè)，