Question

如圖，OB是矩形OABC的對角線，點B的坐標為（3，6）．D、E分別是OC、OB上的點，OD=5，OE=2EB，過D、E的直線交x軸于點F．
（1）點E的坐標為

 

；
（2）求直線DE的解析式；
（3）若點M是線段DF上的一個動點，在x軸上方的平面內是否存在另一個點N，使得以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過E作EG⊥x軸于G，易得△OGE∽△OAB，根據相似三角形的對應邊成比例可求出EG、OG的長，即可得到E點的坐標；
（2）有（1）的條件可用待定系數法求出直線DE的解析式；
（3）此題應分情況討論：
①以OD、ON為邊的菱形ODMN，根據直線DE的解析式可求出F點的坐標，即可得到OF的長；過M作MP⊥x軸于P，通過構建的相似三角形可求出M點的坐標，將M點向下平移OD個單位即可得到N點的坐標；
②以OD、OM為邊的菱形ODNM，此時MN∥y軸，延長NM交x軸于P，可根據直線DE的解析式用未知數設出M點的坐標，進而可在Rt△OMP中，由勾股定理求出M點的坐標，將M點向上平移OD個單位即可得到N點的坐標；
③以OD為對角線的菱形OMCN，根據菱形對角線互相垂直平分的性質即可求得M、N的縱坐標，將M點縱坐標代入直線DE的解析式中即可求出M點坐標，而M、N關于y軸對稱，由此可得到N點的坐標．

解答：解：（1）作EG⊥x軸于點G，則EG∥BA，
∴△OEG∽△OBA，
∴

OE

OB

=

OG

OA

=

EG

BA

，
又∵OE=2EB，
∴

OE

OB

=

2

3

，
∴

2

3

=

OG

3

=

EG

6

，
∴OG=2，EG=4，
∴點E的坐標為（2，4）；

（2）∵點D的坐標為（0，5），
設直線DE的解析式為y=kx+b，
則

2k+b=4 b=5

，
解得k=-

1

2

，b=5，
∴直線DE的解析式為：y=-

1

2

x+5；

（3）答：存在
①如圖1，當OD=DM=MN=NO=5時，四邊形ODMN為菱形．
作MP⊥x軸于點P，則MP∥y軸，
∴△MPO∽△FOD
∴

MP

OF

=

PD

OD

=

MD

FD

，
又∵當y=0時，-

1

2

x+5=0，
解得x=10，
∴F點的坐標為（10，0），
∴OF=10，
在Rt△ODF中，FD=

OD2+OF2

=

52+102

=5

5

，
∴

MP

10

=

PD

5

=

5

5 5

，
∴MP=2

5

，PD=

5

，
∴點M的坐標為（-2

5

，5+

5

），
∴點N的坐標為（-2

5

，

5

），
此時點M在第二象限，不在線段DF上，不符合題意，舍去；

②如圖2，當OD=DN=NM=MO=5時，四邊形ODNM為菱形．延長NM交x軸于點P，則MP⊥x軸．
∵點M在直線y=-

1

2

x+5上，
∴設M點坐標為（a，-

1

2

a+5），
在Rt△OPM中，OP²+PM²=OM²，
∴a²+（-

1

2

a+5）²=5²，
解得：a₁=4，a₂=0（舍去），
∴點M的坐標為（4，3），
∴點N的坐標為（4，8）；

③如圖3，當OM=MD=DN=NO時，四邊形OMDN為菱形，連接NM，交OD于點P，則NM與OD互相垂直平分，
∴y_M=y_N=OP=

5

2

，
∴-

1

2

x_M+5=

5

2

，
∴x_M=5，
∴x_N=-x_M=-5，
∴點N的坐標為（-5，

5

2

）．
綜上所述，x軸上方的點N有兩個，分別為N₁（4，8），N₂（-5，

5

2

）．

點評：此題主要考查了梯形的性質、相似三角形的判定和性質、一次函數解析式的確定以及菱形的判定和性質等知識的綜合應用，需注意的是（3）題要根據菱形的不同構成情況分類討論，以免漏解．