Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4 ，點E為線段OB上一點（不與O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于點C，垂足為點E，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線于點P，AF⊥PC于點F，連接CB．
（1）求證：CB是∠ECP的平分線；
（2）求證：CF=CE；
（3）當 = 時，求劣弧 的長度（結果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∵PF是⊙O的切線，CE⊥AB，

∴∠OCP=∠CEB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，

∴∠BCE=∠BCP，

∴BC平分∠PCE

（2）證明：連接AC．

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，

∵∠BCP=∠BCE，

∴∠ACF=∠ACE，

∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，

∴△ACF≌△ACE，

∴CF=CE．

（3）解：作BM⊥PF于M．則CE=CM=CF，設CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，

∵△BMC∽△PMB，

∴ = ，

∴BM2=CMPM=3a2，

∴BM= a，

∴tan∠BCM= = ，

∴∠BCM=30°，

∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，

∴ 的長= = π

【解析】（1）根據(jù)等角的余角相等證明即可；（2）欲證明CF=CE，只要證明△ACF≌△ACE即可；（3）作BM⊥PF于M．則CE=CM=CF，設CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性質(zhì)求出BM，求出tan∠BCM的值即可解決問題；
【考點精析】本題主要考查了垂徑定理和切線的性質(zhì)定理的相關知識點，需要掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑才能正確解答此題．