Question

（2013•武漢模擬）已知等邊△ABC，邊長為4，點D從點A出發(fā)，沿AB運動到點B，到點B停止運動．點E從A出發(fā)，沿AC的方向在直線AC上運動．點D的速度為每秒1個單位，點E的速度為每秒2個單位，它們同時出發(fā)，同時停止．以點E為圓心，DE長為半徑作圓．設(shè)E點的運動時間為t秒．
（l）如圖l，判斷⊙E與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，當(dāng)⊙E與BC切于點F時，求t的值；
（3）以點C為圓心，CE長為半徑作⊙C，⊙C與射線AC交于點G．當(dāng)⊙C與⊙E相切時，直接寫出t的值為

32±8 3

13

．

Answer 1

分析：（1）首先過點D作DM⊥AC于點M，由△ABC為等邊三角形，可得∠A=60°，可得AM=

1

2

t，DM=

3

2

t，繼而求得AE與ME的長，則可得在△ADE中，AD²=t²，AE²=4t²，DE²=3t²，證得AD²+DE²=AE²，繼而證得AB與⊙D相切；
（2）首先連接BE、EF，由切線長定理可得BE平分∠ABC，然后由等腰三角形的性質(zhì)，求得AE的長，繼而求得答案；
（3）當(dāng)⊙C與⊙E相切時，DE=EG=2EC，分別從當(dāng)E在線段AC上時，AC=AE+EC，與當(dāng)點E在AC的延長線上時，AC=AE-EC，去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）AB與⊙E相切，…（1分）
理由如下：過點D作DM⊥AC于點M，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=60°，
在Rt△ADM中，
∵AD=t，∠A=60°，
∴AM=

1

2

t，DM=

3

2

t，
∵AE=2t，
∴ME=

3

2

t，
在Rt△DME中，DE²=DM²+EM²=3t²，
在△ADE中，∵AD²=t²，AE²=4t²，DE²=3t²，
∴AD²+DE²=AE²，
∴∠ADE=90°，
∴AB與⊙D相切；           …（4分）

（2）連接BE、EF，
∵BD、BF與⊙O相切，
∴BE平分∠ABC，
∵AB=BC，
∴AE=CE，
∵AC=4，
∴AE=2，
∴t=1；                …（8分）

（3）t=

32±8 3

13

；
當(dāng)⊙C與⊙E相切時，DE=EG=2EC，
∵DE=

3

t，
∴EC=

3

2

t，
有兩種情形：
第一，當(dāng)E在線段AC上時，AC=AE+EC，
∴2t+

3

2

t=4，
∴t=

32-8 3

13

，…（9分）
第二，當(dāng)點E在AC的延長線上時，AC=AE-EC，
∴2t-

3

2

t=4，
∴t=

32+8 3

13

．（10分）
故答案為：

32±8 3

13

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、勾股定理以及逆定理、圓與圓的位置關(guān)系以及切線長定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．