Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)N，過A點(diǎn)的直線l：與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，已知，P點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合）．

（1）求拋物線和直線l的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上方的拋物線上時(shí)，過P點(diǎn)作PE∥x軸交直線l于點(diǎn)E，作軸交直線l于點(diǎn)F，求的最大值；

（3）設(shè)M為直線l上的點(diǎn)，探究是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)N、C，M、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），直線l的表達(dá)式為：；（2）最大值：18；（3）存在，P的坐標(biāo)為：或或或.

【解析】

（1）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別代入直線表達(dá)式、拋物線的表達(dá)式，即可求解；

（2），即可求解；

（3）分NC是平行四邊形的一條邊、NC是平行四邊形的對角線，兩種情況分別求解即可．

解：（1）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得：，解得：，

故直線l的表達(dá)式為：，

將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，

同理可得拋物線的表達(dá)式為：；

（2）直線l的表達(dá)式為：，則直線l與x軸的夾角為，

即：則，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為、則點(diǎn)，

，故有最大值，

當(dāng)時(shí)，其最大值為18；

（3），

①當(dāng)NC是平行四邊形的一條邊時(shí)，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為、則點(diǎn)，

由題意得：，即：，

解得或0或4（舍去0），

則點(diǎn)P坐標(biāo)為或或；

②當(dāng)NC是平行四邊形的對角線時(shí)，

則NC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為、則點(diǎn)，

N、C，M、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則NC的中點(diǎn)即為PM中點(diǎn)，

即：，

解得：或（舍去0），

故點(diǎn)；

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或或或．