Question

5．如圖，AC⊥BC于點(diǎn)C，BC=3，CA=4，⊙O與直線AB，BC，CA都相切，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 設(shè)AC、BA、BC與⊙O的切點(diǎn)分別為D、F、E；由勾股定理可得：BF=BE，AF=AD，CD=CE；可用DC分別表示出BE、BF的長(zhǎng)，根據(jù)BF=BE，得出CD的表達(dá)式；連接OD、OE；易證得四邊形ODCE是正方形，即OE=OD=CD，由此可求出⊙O的半徑．

解答 解：設(shè)AC、BA、BC與⊙O的切點(diǎn)分別為D、F、E；連接OD、OE；
∵AC、BE是⊙O的切線，
∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°；
∴四邊形ODCE是矩形；
∵OD=OE，
∴矩形ODCE是正方形；
即OE=OD=CD；
設(shè)CD=CE=x，則AD=AF=4-x；
連接OB，OF，
由勾股定理得：BF²=OB²-OF²，BE²=OB²-OE²，
∵OB=OB，OF=OE，
∴BF=BE，
∵AC⊥BC于點(diǎn)C，BC=3，CA=4，
∴AB=5，
則BA+AF=BC+CE，5+4-x=3+x，
即2x=6，
解得：x=3，即⊙O的半徑為3．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正方形性質(zhì)和判定和勾股定理的應(yīng)用，正確利用切線長(zhǎng)定理是解題關(guān)鍵．