Question

【題目】如圖，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，點D在AB邊上，DE⊥AC于點E.設(shè)點F在線段EC上，點G在射線CB上，以F，C，G為頂點的三角形與△EDC有一個銳角相等，FG交CD于點P，問：線段CP可能是△CFG的高線還是中線？或兩者都有可能？請說明理由.

Answer 1

【答案】是，理由見解析.

【解析】試題分析：分三種情況討論：①若∠CFG1=∠ECD，此時線段CP是△CFG1的FG1邊上的中線；②若∠CFG2=∠EDC，此時線段CP為△CFG2的FG2邊上的高線；③當(dāng)CD為∠ACB的平分線時，CP既是△CFG的FG邊上的高線又是中線．

試題解析：

①若，此時線段CP1為△CFG1的斜邊FG1上的中線.證明如下：

∵，∴.

又∵，∴.

∴. ∴.

又∵，∴. ∴.

∴線段CP1為△CFG1的斜邊FG1上的中線.

②若，此時線段CP2為△CFG2的斜邊FG2上的高線.證明如下：

∵，

又∵DE⊥AC，∴. ∴.

∴. ∴CP2⊥FG2.

∴線段CP2為△CFG2的斜邊FG2上的高線.

③當(dāng)CD為∠ACB的平分線時，CP既是△CFG的FG邊上的高線又是中線.