Question

如圖，直線y=

3

x+2

3

與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)D，以AD為腰，以x軸為底作等腰梯形ABCD（AB＞CD），且等腰梯形的面積是8

3

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)
（2）求拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADP為等腰三角形，求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使△ADP為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，簡(jiǎn)要地進(jìn)行說(shuō)明有幾個(gè)，并至少求出其中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)C作CE⊥AB于E，利用矩形的性質(zhì)分別求得三點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）利用上題求得的點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)分兩種情況討論得到點(diǎn)p的坐標(biāo)即可；
（4）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)p，從存在出發(fā)將M、N的點(diǎn)的坐標(biāo)代入到函數(shù)的解析式中得到有關(guān)的方程組求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）過(guò)C作CE⊥AB于E，
則△AOD≌△BCE，四邊形CDOE為矩形，
∴CD=OE，AO=BE，
y=

3

x+2

3

中x=0，y=2

3

；x=-2，y=0，

1

2

×2

3

×（2+2+2OE）=8

3

，
∴OE=CD=2，
∴C（2，2

3

），B（4，0），A（-2，0），

（2）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、C、B三點(diǎn)（3分）
∴

4a-2b+c=0 4a+2b+c=2 3 16a+4b+c=0

解得：

a=- 3 4 b= 3 2 c=2 3

∴拋物線的解析式為：y=-

3

4

x²+

3

2

x+2

3

（5分）

（3）點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)
∵在△AOD中，∠DOA=90°，可求得AD=4=2AO，
∴∠ADO=30°，∠DAO=60°；
當(dāng)P在A右邊時(shí)，
∵△ADP為等腰三角形，
∴△ADP是等邊三角形，
∴AP=AD=4，
∴P的坐標(biāo)是（2，0）；
當(dāng)P在A左邊時(shí)，△ADP是以A為頂點(diǎn)的等腰三角形，AO=AD=4，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-6，0）．（10分）

（4）滿足條件的拋物線上的點(diǎn)有四個(gè)，其中以AD為腰的等腰三角形有兩個(gè)，以AD為底的等腰三角形有兩個(gè)．
以AD為底的等腰三角形的點(diǎn)P有兩個(gè)，P一定在AD的垂直平分線，由△AOD≌△AMN得：點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為
M（-1，

3

），N（2，0），則直線MN：y=-

3

3

x+

2 3

3

，
∵二次函數(shù)：y=-

3

4

x²+

3

2

x+2

3

，組
成方程組解得：

x= 5+ 73 3 y= 3 - 219 9

x= 5- 73 3 y= 3 - 219 9

∴P₁（

5+ 73

3

，

3 - 219

9

），P₂（

5- 73

3

，

3 + 219

9

）（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式等知識(shí)．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．