Question

已知拋物線(xiàn)y=x²+（2m-1）x+m²-1（m為常數(shù)）．
（1）當(dāng)該拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，并且頂點(diǎn)在第四象限時(shí)，求出它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P，試求經(jīng)過(guò)O、P、Q三點(diǎn)的圓的圓心O′的坐標(biāo)；
（3）設(shè)A是（1）所確定的拋物線(xiàn)上位于x軸下方、且在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作x軸的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C，
①當(dāng)BC=1時(shí)，求矩形ABCD的周長(zhǎng)；
②試問(wèn)矩形ABCD的周長(zhǎng)是否存在最大值？如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值，并指出此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把（0，0）代入拋物線(xiàn)解析式，可以求得m的值，然后求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，判斷是否在第四象限，即可判斷m的值；
（2）Rt△O EO′中，利用勾股定理，即可求得a的值，得到O′E的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)O′的坐標(biāo)；
（3）①已知BC的長(zhǎng)，即可求得OB的長(zhǎng)，得到矩形的周長(zhǎng)；
②設(shè)點(diǎn)A（x，y），則OB=x，BE=

3

2

-x，則AB可以利用x表示出來(lái)，則矩形的周長(zhǎng)可以表示成關(guān)于x的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．

解答：解：（1）將（0，0）代入得m²-1=0，
∴m=±1．
當(dāng)m=1時(shí)，y=x²+x=（x+

1

2

）²-

1

4

，
∴頂點(diǎn)是（-

1

2

，-

1

4

），不合題意，舍去；
當(dāng)m=-1時(shí)，y=x²-3x=（x-

3

2

）²-

9

4

，
∴頂點(diǎn)是（

3

2

，-

9

4

）在第四象限，
∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=x²-3x；

（2）求得點(diǎn)Q（3，0），而頂點(diǎn)P（

3

2

，-

9

4

），
由題意可知經(jīng)過(guò)O、P、Q三點(diǎn)的圓的圓心O′在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，
連接O O′，則O O′=P O′，設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E，O O′=a，
在Rt△O EO′中，OE=

3

2

，O′E=

9

4

-a，
由勾股定理得（

3

2

）²+（

9

4

-a）²=a²，
解得a=

13

8

，
∴O′E=

9

4

-

13

8

=

5

8

，
∴點(diǎn)O′（

3

2

，-

5

8

）；

（3）①當(dāng)BC=1時(shí)，則BE=

1

2

，
∴OB=

3

2

-

1

2

=1，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-2，
∴AB=2，
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=6；
②設(shè)點(diǎn)A（x，y），則OB=x，BE=

3

2

-x，
∴BC=2BE=3-2x，
∵y=x²-3x，
∴AB=3x-x²，
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=2（3x-x²+3-2x）=-2（x-

1

2

）²+6

1

2

，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值為6

1

2

，此時(shí)A（

1

2

，-

5

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)與矩形相結(jié)合的題目，主要考查了勾股定理，二次函數(shù)的最值，難度較大．