Question

【題目】如圖，已知直線AC∥BD，且直線AB和AC、BD分別交于A、B兩點(diǎn)，直線CD和AC、BD分別交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB上.

(1)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖1），試找出∠PCA、∠PDB、∠CPD之間的關(guān)系，并說(shuō)出理由；

(2)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2，圖3），問∠PCA、∠PDB、∠CPD之間的關(guān)系是否發(fā)生變化？試分別利用圖2，圖3探究∠PCA、∠PDB、∠CPD之間的關(guān)系（點(diǎn)P和A、B不重合）.

Answer 1

【答案】∠CPD=∠PCA+∠PDB，理由見解析；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD=∠PCA-∠PDB；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD=∠PDB-∠PCA．

【解析】

（1）過點(diǎn)P作a的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P作b的平行線PE，由平行線的性質(zhì)可得出a∥b∥PE，由此即可得出結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)直線AC與DP交于點(diǎn)F，由三角形外角的性質(zhì)可得出∠1+∠3=∠PFA，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

（1）如圖1，過點(diǎn)P作PE∥a，則∠1=∠CPE．

∵a∥b，PE∥a，

∴PE∥b，

∴∠2=∠DPE，

∴∠3=∠1+∠2，

即∠CPD=∠PCA+∠PDB；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD=∠PCA-∠PDB．

理由：如圖2，過點(diǎn)P作PE∥b，則∠2=∠EPD，

∵直線a∥b，

∴a∥PE，

∴∠1=∠EPC，

∵∠3=∠EPC-∠EPD，

∴∠3=∠1-∠2，

即∠CPD=∠PCA-∠PDB；

②當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD=∠PDB-∠PCA．

證明：如圖3，設(shè)直線AC與DP交于點(diǎn)F，

∵∠PFA是△PCF的外角，

∴∠PFA=∠1+∠3，

∵a∥b，

∴∠2=∠PFA，

∴∠2=∠1+∠3，

∴∠3=∠2-∠1，

即∠CPD=∠PDB-∠PCA．