Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2

2

，⊙A的半徑為1，如圖所示．若點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B、C不重合），設(shè)BO=x，△AOC的面積為y．
（1）求⊙A與△ABC重疊部分圖形的面積（結(jié)果用π的式子表示）；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍；
（3）以點(diǎn)O為圓心，BO長(zhǎng)為半徑作圓，求當(dāng)⊙O與⊙A外切時(shí)，△AOC的面積．

Answer 1

分析：（1）由∠BAC=90°，⊙A的半徑為1，由扇形的面積公式即可求得⊙A與△ABC重疊部分圖形的面積；
（2）由∠BAC=90°，AB=AC=2

2

，根據(jù)勾股定理即可求得BC，且∠B=∠C，然后作AM⊥BC，由S_△AOC=

1

2

OC•AM，即可求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）由⊙O與⊙A外切，可得O與A的連接線段必過切點(diǎn)，⊙O半徑為BO，⊙A的半徑為1，可得OA=1+ON，又OB=ON，則OM=（2-ON），根據(jù)勾股定理AM²+OM²=OA²，即可求得ON的值，繼而求得△AOC的面積．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，⊙A的半徑為1，
∴⊙A與△ABC重疊部分圖形的面積為：

90×π×12

360

=

1

4

π；

（2）∵∠BAC=90°，AB=AC=2

2

，
由勾股定理知BC=

8+8

=4，且∠B=∠C，
作AM⊥BC，
則∠BAM=45°，BM=CM=2=AM，
∵BO=x，則OC=4-x，
∴S_△AOC=

1

2

OC•AM=

1

2

×（4-x）×2=4-x，
即y=4-x （0＜x＜4）；

（3）∵⊙O與⊙A外切，
∴O與A的連接線段必過切點(diǎn)，
設(shè)切點(diǎn)為N．
∵⊙O半徑為BO，⊙A的半徑為1，
則OA=1+ON，又OB=ON，則OM=（2-ON），
又∵AM=2，AM⊥BC，
有AM²+OM²=OA²，
即4+（2-ON）²=（1+NO）²，
∴4+4+ON²-4ON=ON²+2ON+1，
∴6NO=7，
則NO=

7

6

=x，
則S_△AOC=4-x=4-

7

6

=

17

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相切兩圓的性質(zhì)，三角形面積的求解方法，以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．