Question

我們知道：平行四邊形的面積=（底邊）×（這條底邊上的高）．
如圖，四邊形ABCD都是平行四邊形，AD∥BC，AB∥CD，設(shè)它的面積為S．
（1）如圖①，點(diǎn)M為AD上任意一點(diǎn)，則△BCM的面積S₁=

1

2

S，
△BCD的面積S₂與△BCM的面積S₁的數(shù)量關(guān)系是

S₁=S₂

．
（2）如圖②，設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，則O為AC、BD的中點(diǎn)，試探究△AOB的面積與△COD的面積之和S₃與平行四邊形的面積S的數(shù)量關(guān)系．
（3）如圖③，點(diǎn)P為平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)時(shí)，記△PAB的面積為Sˊ，△PCD的面積為S〞，平行四邊形ABCD的面積為S，猜想得Sˊ、S〞的和與S的數(shù)量關(guān)系式為

S′+S″=

1

2

S

．
（4）如圖④，已知點(diǎn)P為平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，△PAB的面積為3，△PBC的面積為7，求△PBD的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)?ABCD中BC邊上的高為h₁，CD邊上的高為h₂，再根據(jù)平行四邊形的面積與三角形的面積公式求解即可；
（2）根據(jù)O為AC、BD的中點(diǎn)，故可得出S₃=S_△AOB+S_△COD=

1

2

S_△ABD+

1

2

S_△BCD=

1

2

（S_△ABD+S_△BCD）=

1

2

S；
（3）設(shè)?ABCD中CD邊上的高為h₂，△PAB中AB邊上高為h₃，△PCD中CD邊上的高為h₄，再根據(jù)平行四邊形的面積與三角形的面積公式求解即可；
（4）根據(jù)S_△PBD=S_{四邊形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PCD-S_△BCD即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)?ABCD中BC邊上的高為h₁，CD邊上的高為h₂，
∵S_?ABCD=BC•h₁=CD•h₂=S，
S_△BCM=

1

2

BC•h₁=

1

2

S，S_△BCD=

1

2

CD•h₂=

1

2

S，
∴S₁=

1

2

S，S₁=S₂（或相等）．
故答案為：

1

2

；S₁=S₂；

（2）S₃=

1

2

S
理由：∵O為AC、BD的中點(diǎn)，
∴S₃=S_△AOB+S_△COD=

1

2

S_△ABD+

1

2

S_△BCD=

1

2

（S_△ABD+S_△BCD）=

1

2

S；

（3）設(shè)?ABCD中CD邊上的高為h₂，△ABP中AB邊上高為h₃，△PCD中CD邊上的高為h₄，
∵AB∥CD，
∴h₃+h₄=h₂，
∴S_△PAB+S_△PCD=

1

2

AB•h₃+

1

2

CD•h₄=

1

2

AB（h₃+h₄）

1

2

AB•h₂=

1

2

S，即S′+S″=

1

2

S；
故答案為：S′+S″=

1

2

S；

（4）∵S_△PAB+S_△PCD=

1

2

S=S_△BCD，S_△PAB=3，S_△PBC=7，
∴S_△PBD=S_{四邊形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PCD-S_△BCD，即S_△PBD=7+（

1

2

S-3）-

1

2

S=7-3=4．

點(diǎn)評：本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，熟知平行四邊形及三角形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．