Question

（2012•哈爾濱模擬）為了美化環(huán)境，計(jì)劃將一個邊長為4米的菱形草地ABCD分割成如圖所示的四塊，其中四邊形AEPM和四邊形NPFC均為菱形，且∠A=120°，若AE的長為x米，四邊形BEPN和四邊形DMPF的面積和為S平方米．
（1）請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式，計(jì)算當(dāng)x為何值時(shí)S最大，并求出最大值．
[參考公式：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），當(dāng)x=-

b

2a

時(shí)，y_{最大（小）值}=

4ac-b2

4a

]．

Answer 1

分析：（1）連AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠BAC=60°，則△ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的面積等于可得到邊長平方的

3

4

倍可得到S_菱形ABCD=2S_△ABC=2×

3

4

AB²=8

3

，同理得到S_菱形AEPM=2S_△AEP=2×

3

4

AE²=

3

2

x²，S_菱形NPFC=2S_△NPC=2×

3

4

PN²=

3

2

BE=

3

2

（4-x）²，由S=S_菱形ABCD-S_菱形NPFC即可得到S=8

3

-

3

2

x²-

3

2

（4-x）²，然后化簡即可；
（2）利用題中給的公式可計(jì)算出當(dāng)x為何值時(shí)S最大以及最大值．

解答：解：（1）連AC，如圖，
∵四邊形ABCD為菱形，∠A=120°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴S_菱形ABCD=2S_△ABC=2×

3

4

AB²=8

3

，
同理得到S_菱形AEPM=2S_△AEP=2×

3

4

AE²=

3

2

x²，
S_菱形NPFC=2S_△NPC=2×

3

4

PN²=

3

2

BE=

3

2

（4-x）²，
故S=S_菱形ABCD-S_菱形NPFC
=8

3

-

3

2

x²-

3

2

（4-x）²
=-

3

x²+4

3

x，
（2）∵a=-

3

＜0，
∴S有最大值，
當(dāng)x=-

4 3

2×(- 3 )

=2時(shí)，S_最大值=

4×(- 3 )×0-(4 3 )2

4×(- 3 )

=4

3

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：利用實(shí)際問題中的幾何關(guān)系得到二次函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最大（或最小值）問題．