Question

如圖①，邊長為4cm的正方形ABCD的頂點A與坐標原點0重合，邊AB在x軸上，點C在第四象限，當正方形ABCD沿x軸以1cm/秒的速度向右勻速運動，運動時間為t秒時，經(jīng)過A、B兩點的拋物線y=ax²+bx+c與y軸相交于E點，其頂點為M．
（1）若正方形ABCD在運動過程中，拋物線y=ax²+bx+c的頂點M保持在正方形的內(nèi)部，求a的取值范圍．
（2）設正方形ABCD在運動過程中，△ABE與△ABM的面積比為k，求k與運動時間為t（秒）之間的關系式．
（3）當正方形ABCD沿x軸向右運動2秒鐘時，在拋物線y=ax²+bx+c上存在一個點P，使△ABP為直角三角形，且△OPA∽△OBP，求此時拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知得出A（t，0），B（t+4，0），即可得出二次函數(shù)的對稱軸為x=t+2，設y=a（x-t-2）²+k，進而將A（t，0）代入得k=-4a，再根據(jù)-4a＜0，-4a＞-4得出a的取值范圍；
（2）根據(jù)△ABE與△ABM的面積比為k，分別表示出兩三角形面積即可；
（3）由△OPA∽△OBP得出比例式，求出OP=2

3

，進而求出AP的長，得到P點坐標，即可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）∵A（t，0），B（t+4，0），
∴拋物線對稱軸為x=t+2．
設y=a（x-t-2）²+k，
將A（t，0）代入，得k=-4a，
∴y=a（x-t-2）²-4a，
∴頂點M（t+2，-4a），
由-4a＜0，-4a＞-4，
解得：0＜a＜1．

（2）由（1）知M（t+2，-4a），E（0，at²+4at）
k=

1 2 ×4×(at2+4at)

1 2 ×4×4a

=

1

4

t2+t；

（3）∵t=2，
∴y=a（x-4）²-4a，
當y=0時，x₁=2，x₂=6，
∴OA=2，OB=6，
∵△OPA∽△OBP，
∴

OP

OB

=

OA

OP

=

AP

BP

，
∴OP=2

3

（負值舍去），

AP

BP

=

1

3

，
∵△ABP為直角三角形，AB=4，
∴AP=2，BP=2

3

=OP
作DF⊥AB于F，則OF=

1

2

OB=3，
∴PF=

OP2-OF2

=

3

，P（3，-

3

），
由P在拋物線上得，a-4a=-

3

，a=

3

3

，
∴y=

3

3

(x-4)2-

4 3

3

．

點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和頂點式求二次函數(shù)解析式等知識，相似三角形考查經(jīng)常與二次函數(shù)綜合出現(xiàn)，題目綜合性較強，同學們應注意細心分析利用數(shù)形結合盡可能減少錯誤．