Question

【題目】如圖1，作∠BPC平分線的反向延長線PA，現要分別以∠APB，∠APC，∠BPC為內角作正多邊形，且邊長均為1，將作出的三個正多邊形填充不同花紋后成為一個圖案．例如，若以∠BPC為內角，可作出一個邊長為1的正方形，此時∠BPC=90°，而=45是360°（多邊形外角和）的，這樣就恰好可作出兩個邊長均為1的正八邊形，填充花紋后得到一個符合要求的圖案，如圖2所示．

圖2中的圖案外輪廓周長是_____；

在所有符合要求的圖案中選一個外輪廓周長最大的定為會標，則會標的外輪廓周長是_____．

Answer 1

【答案】 14 21

【解析】根據圖2將外圍長相加可得圖案外輪廓周長；設∠BPC=2x，先表示中間正多邊形的邊數：外角為180°﹣2x，根據外角和可得邊數=，同理可得兩邊正多邊形的外角為x，可得邊數為，計算其周長可得結論．

圖2中的圖案外輪廓周長是：8﹣2+2+8﹣2=14；

設∠BPC=2x，

∴以∠BPC為內角的正多邊形的邊數為：，

以∠APB為內角的正多邊形的邊數為：，

∴圖案外輪廓周長是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6，

根據題意可知：2x的值只能為60°，90°，120°，144°，

當x越小時，周長越大，

∴當x=30時，周長最大，此時圖案定為會標，

則則會標的外輪廓周長是=﹣6=21，

故答案為：14，21．