Question

已知一次函數(shù)y=x+2的圖象分別交x軸，y軸于A、B兩點(diǎn)，⊙O₁過以O(shè)B為邊長的正方形OBCD的四個頂點(diǎn)，兩動點(diǎn)P、Q同時從點(diǎn)A出發(fā)在四邊形ABCD上運(yùn)動，其中動點(diǎn)P以每秒

2

個單位長度的速度沿A→B→A運(yùn)動后停止；動點(diǎn)Q以每秒2個單位長度的速度沿A→O→D→C→B運(yùn)動，AO₁交y軸于E點(diǎn)，P、Q運(yùn)動的時間為t（秒）．
（1）直接寫出E點(diǎn)的坐標(biāo)和S_△ABE的值；
（2）試探究點(diǎn)P、Q從開始運(yùn)動到停止，直線PQ與⊙O₁有哪幾種位置關(guān)系，并指出對應(yīng)的運(yùn)動時間t的范圍；
（3）當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動在折線AD→DC上時，是否存在某一時刻t使得S_△APQ：S_△ABE=3：4？若存在，請確定t的值和直線PQ所對應(yīng)的函數(shù)解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意容易知道O₁的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線AE的解析式，然后求出E的坐標(biāo)，最后求出S_△ABE；
（2）容易知道當(dāng)Q運(yùn)動到O點(diǎn)時PQ與圓相切，此時t=1，所以可以確定其他位置的t的值；
（3）根據(jù)已知條件容易知道A（-2，0），B（0，2），OA=2，OB=2然后把S_△APQ，S_△APM，S_{四邊形PMDQ}，S_△ADQ分別用t表示，然后根據(jù)已知條件可以列出關(guān)于t的方程，解方程就可以確定t的值，從而確定直線PQ的函數(shù)解析式．

解答：解：（1）由題意知，A（-2，0），B（0，2），
∴OB=OD=2，
∴O₁（1，1），
設(shè)AO₁的直線的解析式為y=kx+b，則有0=-2k+b，1=k+b，
解得：b=

2

3

，k=

1

3

，
∴y=

1

3

x+

2

3

，
∴E（0，

2

3

），
∴BE=

4

3

，
S_△ABE=

1

2

OA•BE=

4

3

；

（2）直線PQ與⊙O₁有三種位置關(guān)系，分別是相離，相切，相交，
當(dāng)PQ與⊙O₁相離，0＜t＜1；
當(dāng)PQ與⊙O₁相切時，t=1或t=4；
當(dāng)PQ與⊙O₁相交時，4＞t＞1；

（3）①Q(mào)點(diǎn)運(yùn)動在折線AD上時，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到原點(diǎn)，即Q（0，0）時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，1），
S_△APQ=1，且滿足S_△APQ：S_△ABE=3：4，此時t=1，直線PQ所對應(yīng)的函數(shù)解析式y(tǒng)=-x．
②Q點(diǎn)運(yùn)動在折線DC上時，P到了BA方向，根據(jù)已知得A（-2，0），B（0，2），
∴OA=2，OB=2，AB=2

2

，OD=OB=2，
O₁（1，1），此時P，Q的位置如圖，過P作PM⊥AD于M，P運(yùn)動的路程為

2

t，
∴PB=

2

t-AB=

2

t-2

2

，
∴AP=AB-PB=4

2

-

2

t，而△APM為等腰直角三角形，
∴PM=AM=4-t，Q運(yùn)動的路程為2t，
∴QD=2t-OA-OD=2t-4，
而S_△APQ=S_△APM+S_{四邊形PMDQ}-S_△ADQ，
S_△APM+S_{四邊形PMDQ}=

1

2

×PM×AM+

1

2

(PM+QD)×MD=t²-4t+8，
S_△ADQ=

1

2

AD×QD=4t-8，
∴S_△APQ=t²-8t+16，若S_△APQ：S_△ABE=3：4，而S_△ABE=

4

3

，
∴S_△APQ=1，
∴1=t²-8t+16，
∴t=3或t=5，當(dāng)t=5時，Q在BC上，不符合題意，舍去，
∴AM=1=PM，
∴OM=1，P（-1，1），
QD=2，∴Q在C點(diǎn)處，
∴Q（2，2），
設(shè)直線PQ的函數(shù)解析式為y=kx+b，
∴

1=-k+b 2=2k+b

，
∴k=

1

3

，b=

4

3

，
∴y=

1

3

x+

4

3

．

點(diǎn)評：此題很復(fù)雜，把幾何知識和代數(shù)知識緊緊的結(jié)合起來，還有圖形的變換，還有復(fù)雜的計(jì)算，多方面考查學(xué)生的能力，綜合性很強(qiáng)，對學(xué)生的要求比較高．