Question

（2013•椒江區(qū)一模）請仔細閱讀下面兩則材料，然后解決問題：
材料1：小學(xué)時我們學(xué)過，任何一個假分數(shù)都可以化為一個整數(shù)與一個真分數(shù)的和的形式，同樣道理，任何一個分子次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式都可以化為一個整式與另一個分式的和（或差）的形式，其中另一個分式的分子次數(shù)低于分母次數(shù)．

x2-2x-4

x-1

=

(x2-x)+(-x+1)+(-5)

x-1

=(x-1)-

5

x-1

如：對于式子2+

3

1+x2

，因為x²≥0，所以1+x²的最小值為1，所以

3

1+x2

的最大值為3，所以2+

3

1+x2

的最大值為5．根據(jù)上述材料，解決下列問題：問題1：把分式

4x2+8x+7

1 2 x2+x+1

 化為一個整式與另一個分式的和（或差）的形式，其中另一

4x2+8x+7

1 2 x2+x+1

個分式的分子次數(shù)低于分母次數(shù)．
問題2：當(dāng)x的值變化時，求分式8-

2

(x+1)2+1

的最小值．

Answer 1

分析：問題1：根據(jù)分式的性質(zhì)，將分子分母分別乘以4，再將分子轉(zhuǎn)化為x²+2x+2的倍數(shù)，然后約分計算；
問題2：根據(jù)問題1的結(jié)果，通過分母分析分式的最小值．

解答：問題1：解：原式=

8x2+16x+16-2

x2+2x+2

=8-

2

x2+2x+2

=8-

2

(x+1)2+1

；
問題2：解：∵（x+1）²≥0，
∴（x+1）²+1的最小值為1，
∴

2

(x+1)2+1

的最大值為2，
∴8-

2

(x+1)2+1

的最小值為6，
即

4x2+8x+7

1 2 x2+x+1

的最小值為6．

點評：本題主要考查了分式的混合運算，適當(dāng)轉(zhuǎn)化分子、分母是解題的關(guān)鍵．