Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)C的直線m∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線m于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F，連接CD，BE．

（1）求證：CE=AD；
（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由；
（3）當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？（不需要證明）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵直線m∥AB，

∴EC∥AD．

又∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC．

又∵DE⊥BC，

∴DE∥AC．

∵EC∥AD，DE∥AC，

∴四邊形ADEC是平行四邊形．

∴CE=AD

（2）

當(dāng)點(diǎn)D是AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是菱形．

證明：∵D是AB中點(diǎn)，DE∥AC（已證），

∴F為BC中點(diǎn)，

∴BF=CF

∵直線m∥AB，

∴∠ECF=∠DBF．

∵∠BFD=∠CFE，

∴△BFD≌△CFE

∴DF=EF．

∵DE⊥BC，

∴BC和DE垂直且互相平分．

∴四邊形BECD是菱形

（3）

當(dāng)∠A的大小是45°時(shí)，四邊形BECD是正方形．

理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC，

∵D為BA中點(diǎn)，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∵四邊形BECD是菱形，

∴四邊形BECD是正方形，

即當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形

【解析】（1）由BC⊥AC，DE⊥BC，得到DE∥AC，從而判斷出四邊形ADEC是平行四邊形．即可，（2）先判斷出△BFD≌△CFE，再判斷出BC和DE垂直且互相平分，得到四邊形BECD是菱形．（3）先判斷出∠CDB=90°，從而得到有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行四邊形的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．