Question

【題目】如圖，頂點為D的拋物線y＝﹣x2+x+4與y軸交于點A，與x軸交于兩點B、C（點B在點C的左邊），點A與點E關于拋物線的對稱軸對稱，點B、E在直線y＝kx+b（k，b為常數）上．

(1)求k，b的值；

(2)點P為直線AE上方拋物線上的任意一點，過點P作AE的垂線交AE于點F，點G為y軸上任意一點，當△PBE的面積最大時，求PF+FG+OG的最小值；

(3)在(2)中，當PF+FG+OG取得最小值時，將△AFG繞點A按順時方向旋轉30°后得到△AF1G1，過點G1作AE的垂線與AE交于點M．點D向上平移個單位長度后能與點N重合，點Q為直線DN上任意一點，在平面直角坐標系中是否存在一點S，使以S、Q、M、N為頂點且MN為邊的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點S的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)k=，b=1；(2)PF+FG+OG的最小值2+3；(3)存在，點S的坐標為：（﹣1，﹣1），（﹣1，9），（7，4）．

【解析】

（1）由題意得：A（0，4）、B（-2，0）、D（3，）、C（8，0）、E（6，4），則：過BE的直線為：y=x+1；

（2）設：P橫坐標為m，則P（m，-m2++4），H（m，m+1），則：PH=-m2++4-（m+1）=-（x-2）2+4，當x=2時，PH取得最大值，此時△PEB的面積也取得最大值；構造與y軸夾角為45度的直線OR，如圖所示，過點G作OR的垂線交OR于點R，則：RG=，則：PF+FG+OG=PF+FG+GR，當F、G、R三點共線時，FG+GR有最小值，即可求解；

（3）存在．當四邊形為菱形，分在MNQ1S1的位置時、在MNQ2S2的位置時、在MNQ3S3的位置時三種情況分別求解．

(1)由題意得：A（0，4）、B（﹣2，0）、D（3，）、C（8，0）、E（6，4），

則：過BE的直線為：y＝x+1；

(2)延長PF交BE于點H，

設：P橫坐標為m，則P（m，﹣m2++4），H（m， m+1），

則：PH＝﹣m2++4﹣（m+1）＝﹣（x﹣2）2+4，

當x＝2時，PH取得最大值，此時△PEB的面積也取得最大值，

此時，P（2，6）、F（2，4），PF＝2，

構造與y軸夾角為45度的直線OR，如圖所示，過點G作OR的垂線交OR于點R，

則：RG＝，∴PF+FG+OG＝PF+FG+GR，

當F、G、R三點共線時，FG+GR有最小值，

在Rt△AGF中，AF＝AG＝2，則：GF＝2，

在Rt△ROG中，RO＝RG，OG＝2，則：RG＝，

FG+GR＝2+＝3，

故：PF+FG+OG的最小值2+3；

(3)存在．如圖所示：

△AFG繞點A按順時方向旋轉30°后得到△AF1G1，

在Rt△G1AM中，AG1＝2，∠AG1M＝30°，

則：AM＝1，∴M（﹣1，4），

點D向上平移個單位長度后能與點N重合，則：N（3，7），

則：MN＝＝5，

當四邊形為菱形，在MNQ1S1的位置時，MS1＝MN＝5，則點S1（﹣1，﹣1），

當四邊形為菱形，在MNQ2S2的位置時，MS2＝MN＝5，則點S2（﹣1，9），

當四邊形為菱形，在MNQ3S3的位置時，點S3與點M關于對稱軸對稱，則點S3（7，4），

故：所求點S的坐標為：（﹣1，﹣1），（﹣1，9），（7，4）．