Question

【題目】拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3，0）、B(，0），它與y軸相交于點(diǎn)C，且∠ACB≥90°，設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為D，△BCD的邊CD上的高為h．

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）求高h的取值范圍；

（3）當(dāng)（1）的實(shí)數(shù)a取得最大值時(shí)，求此時(shí)△BCD外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）0＜a≤；（2）0＜h≤；（3）2．

【解析】

（1）利用直角三角形各邊的關(guān)系，求得OC2=OAOB，利用邊角關(guān)系，代入a值解得．
（2）過(guò)D作DE⊥OC，延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CH于點(diǎn)F．利用頂點(diǎn)公式求得點(diǎn)D，由OC≤3，則tan∠OHC=≤，從而解得．
（3）求得a的最大值，求得h值，可得BD，BC，連接DG，由△DGB∽△BCF求得DG．

解：（1）當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，OC2＝OAOB，

得OC＝3

又∠ACB≥90°，

故OC≤3，

所以9a≤3，

∴0＜a≤．

（2）過(guò)D作DE⊥OC，延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CH于點(diǎn)F．

因?yàn)?/span>D為拋物線的頂點(diǎn)，

所以D（-，﹣12a），OE＝12a，

又∵OC＝9a，CE＝3a，DE＝，

易證△HCO∽△DCE，

有＝3，

故OH＝3DE＝3，BH＝OH﹣OB＝2，

又OC≤3，則tan∠OHC＝≤，

于是0＜∠OHC＜30°，

則h＝BF＝BHsin∠BHF≤BHsin30°＝，

從而0＜h≤．

（3）當(dāng)a取最大值時(shí)，a＝，

此時(shí)h＝，B（，0），C（0，﹣3），D（-，﹣4），

可求BD＝2，BC＝2，

作直徑DG，易證△DGB∽△BCF，，

所以 ．

故DG＝4，

即△BCD外接圓的半徑為2．