Question

如圖，已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB、AC于E、F．下列結(jié)論：
①AE=CF，②∠APE=∠CPF，③△EPF是等腰直角三角形，④EF=AP，⑤S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC．
當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（E不與A、B重合），上述結(jié)論始終正確的有（　　）

A．①②③④

B．①②③⑤

C．①②④⑤

D．②③④⑤

Answer 1

分析：由于AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AP⊥BC，AP=PB=PC，則可判斷△APB和△APC都是等腰直角三角形，于是∠BAP=∠C=45°，然后根據(jù)等角的余角相等可得到∠APE=∠CPF；所以利用“ASA”可判斷△APE≌△CPF，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得AE=CF；PE=PF，可判斷△EPF是等腰直角三角形，得到EF=

2

PE，只有當(dāng)PE⊥AB時(shí)，AP=

2

PE，AP=EF；再利用S_△APE=S_△CPF可得到S_{四邊形AEPF}=S_△APC=

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S_△ABC．

解答：解：∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，
∴AP⊥BC，AP=PB=PC，
∴△APB和△APC都是等腰直角三角形，
∴∠BAP=∠C=45°，
∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠APF=90°，
而∠APF+∠CPF=90°，
∴∠APE=∠CPF，所以②正確；
在△APE和△CPF中

∠EAP=∠C AP=CP ∠APE=∠CPF

，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF；所以①正確；
∴PE=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，所以③正確；
∴EF=

2

PE，
當(dāng)PE⊥AB時(shí)，AP=

2

PE，此時(shí)AP=EF，所以④錯(cuò)誤；
∵△APE≌△CPF，
∴S_△APE=S_△CPF，
∴S_{四邊形AEPF}=S_△APC=

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S_△ABC，所以⑤正確．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判斷三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．