Question

二次函數(shù)y=x²+px+q的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，-1）且與x軸交于不同的兩點(diǎn)A（a，0）、B（b，0），設(shè)圖象頂點(diǎn)為M，求使△AMB的面積最小時(shí)的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：A、B兩點(diǎn)在x軸上，用|AB|=|a-b|表示線段AB的長(zhǎng)，由兩根關(guān)系轉(zhuǎn)化為p、q的表達(dá)式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得M（-

p

2

，

4q-p2

4

），故有S_△AMB=

1

2

|AB|•|

4q-p2

4

|，又依題意得4+2p+q=-1，即q=-2p-5，轉(zhuǎn)化為關(guān)于p的二次函數(shù)求面積最小時(shí)，p、q的值．

解答：解：由題意知4+2p+q=-1，即q=-2p-5，
∵A（a，0）、B（b，0）兩點(diǎn)在拋物線y=x²+px+q上，
∴a+b=-p，ab=q，
又|AB|=|a-b|=

(a+b)2-4ab

=

p2-4q

，M（-

p

2

，

4q-p2

4

），
∴S_△AMB=

1

2

|AB|•|

4q-p2

4

|
=

1

8

|a-b|•（P²-4q）=

1

8

(p2-4q)3

要使S_△AMB最小，只須使P²-4q為最小，
而P²-4q=P²+8p+20=（p+4）²+4，
∴當(dāng)p=-4時(shí)，P²-4q有最小值為4，
此時(shí)q=3，S_△AMB=

1

8

×

43

=1．
∴二次函數(shù)解析式為y=x²-4x+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)最值在求三角形面積中的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意表示三角形的面積，將所得式子轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解．