Question

（2013•金平區(qū)模擬）如圖，拋物線y=ax2+

1

3

x+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A（-3，0）、B（4，0）兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N在線段AC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜3.5），試求出四邊形BCNM的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最小，最小值是多少？
（3）點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q在拋物線上，在（2）的條件下，當(dāng)四邊形BCNM的面積S最小時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P與點(diǎn)Q，使以P，Q，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不寫(xiě)求解過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將A（-3，0）、B（4，0）兩點(diǎn)代入拋物線y=ax2+

1

3

x+c（a≠0），即可聯(lián)立兩式求出a，c的值，從而求出該拋物線的解析式；
（2）依題意，得AM=2t，CN=t，根據(jù)勾股定理可求AC，表示出AN，作ND⊥OA于點(diǎn)D，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可表示出DN，根據(jù)三角形的面積即可得到四邊形BCNM的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，配方后可求S的最小值；    
（3）利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合圖形得出若以BN為對(duì)角線以及以BN為一邊時(shí)，分別得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）拋物線y=ax2+

1

3

x+c經(jīng)過(guò)A（-3，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，則

0=9a-1+c 0=16a+ 4 3 +c

，
解得

a=- 1 3 c=4

．
故拋物線的解析式為y=-

1

3

x2+

1

3

x+4；       
                  
（2）依題意，得AM=2t，CN=t，
∵OC=4，OA=3，∠AOC=90°，
∴AC=

OC2+OA2

=

42+32

=5，
∴AN=AC-CN=5-t，
作ND⊥OA于點(diǎn)D，
∵OC⊥OA，
∴ND∥OC，
∴

DN

OC

=

AN

AC

，
∴DN=

AN•OC

AC

=

4

5

(5-t)，
∴S=S_△ABC-S_△AMN
=

1

2

AB•OC-

1

2

AM•DN
=

1

2

×7×4-

1

2

×2t×

4

5

(5-t)
=

4

5

t2-4t+14，
∴S=

4

5

(t-

5

2

)2+9，
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S的最小值是9；    
                          
（3）如圖，存在，
若以BN為對(duì)角線，N點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

2

，2），則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4-（

1

2

+

3

2

）=2，當(dāng)x=2時(shí)，y=-

1

3

×2²+

1

3

×2+4=3

1

3

，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2-3

1

3

=-

4

3

，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，-

4

3

）；
若以BN為一邊，則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

2

-（4+

3

2

）=-5，當(dāng)x=-5時(shí)，y=-

1

3

×（-5）²+

1

3

×（-5）+4=-6，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-6+2=-4，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，-4）；
若以BN為一邊，則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

2

+（4+

3

2

）=6，當(dāng)x=6時(shí)，y=-

1

3

×6²+

1

3

×6+4=-6，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-6-2=-8，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，-8）．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，-

4

3

）、（

1

2

，-4）、（

1

2

，-8）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)與判定和三角形面積求法等知識(shí)，根據(jù)已知結(jié)合圖形以及利用分類討論思想得出是解題關(guān)鍵．