Question

已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O為AB邊上的一點，以O(shè)為圓心，OA長為半徑作圓交AC于D點，過D作⊙O的切線交BC于E.

（1）若O為AB的中點(如圖1)，則ED與EC的大小關(guān)系為：ED   EC（填“”“”或“”）
（2）若OA<3時（如圖2），（1）中的關(guān)系是否還成立？為什么？
（3）當(dāng)⊙O過BC中點時（如圖3），求CE長.

Answer 1

（1）ED=EC；（2）成立；（3）3

試題分析：（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ODE=90°，則∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根據(jù)勾股定理的逆定理可證得∠ABC=90°，則∠A+∠C=90°，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，從而證得結(jié)論；
（2）證法同（1）；
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)結(jié)合圓的基本性質(zhì)求解即可.
（1）連接OD

∵DE為⊙O的切線
∴∠ODE=90°
∴∠CDE+∠ADO=90°
∵AB=6，BC=8，AC=10
∴∠ABC=90°
∴∠A+∠C=90°
∵AO=DO
∴∠A=∠ADO
∴∠CDE=∠C
∴ED=EC；
（2）連接OD

∵DE為⊙O的切線
∴∠ODE=90°
∴∠CDE+∠ADO=90°
∵AB=6，BC=8，AC=10
∴∠ABC=90°
∴∠A+∠C=90°
∵AO=DO
∴∠A=∠ADO
∴∠CDE=∠C
∴ED=EC；
（3）CE=3.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．