Question

如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，點P在矩形的邊DC上由D向C運動．沿直線AP翻折△ADP，形成如下四種情形．設DP＝x，△ADP和矩形重疊部分(陰影)的面積為y．

(1)如圖丁，當點P運動到與C重合時，求重疊部分的面積y；

(2)如圖乙，當點P運動到何處時，翻折△ADP后，點D恰好落在BC邊上？這時重疊部分的面積y等于多少？

(3)閱讀材料：

已知銳角α≠45°，tan2α是角2α的正切值，它可以用角α的正切值tanα來表示，即(α≠45°)．

根據(jù)上述閱讀材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范圍．(提示：在圖丙中可設∠DAP＝α)

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)由題意可得∠DAC＝∠AC＝∠ACE，∴AE＝CE．

　　設AE＝CE＝m，則BE＝10－m．

　　在Rt△ABE中，得m²＝8²＋(10－m)²，m＝8.2．

　　∴重疊部分的面積y＝·CE·AB＝×8.2×8＝32.8(平方單位)．

　　另法過E作EO⊥AC于O，由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO．

　　(2)由題意可得△DAP≌△AP，

　　∴A＝AD＝10，P＝DP＝x．

　　在Rt△AB中，∵AB＝8，∴B＝＝6，于是C＝4．

　　在Rt△PC中，由x²＝4²＋(8－x)²，得x＝5．

　　此時y＝·AD·DP＝×10×5＝25(平方單位)．

　　表明當DP＝5時，點D恰好落在BC邊上，這時y＝25．

　　另法由Rt△AB∽Rt△PC可求得DP．

　　(3)由(2)知，DP＝5是甲、丙兩種情形的分界點．

　　當0≤x≤5時，由圖甲知y＝＝S_△ADP＝·AD·DP＝5x．

　　當5＜x＜8時，如圖丙，設∠DAP＝α，則∠AEB＝2α，∠FPC＝2α．

　　在Rt△ADP中，得tanα＝．

　　根據(jù)閱讀材料，得tan2α＝．

　　在Rt△ABE中，有BE＝AB／tan2α＝＝．

　　同理，在Rt△PCF中，有CF＝(8－x)tan2α＝．

　　∴△ABE的面積

　　S_△ABE＝·AB·BE＝×8×＝．

　　△PCF的面積

　　S_△PCF＝·PC·CF＝(8－x)×＝．

　　而直角梯形ABCP的面積為

　　S_梯形ABCP＝(PC＋AB)×BC＝(8－x＋8)×10＝80－5x．

　　故重疊部分的面積y＝S_梯形ABCP－S_△ABE－S_△PCF＝80－5x－－．

　　經(jīng)驗證，當x＝8時，y＝32.8適合上式．

　　綜上所述，當0≤x≤5時，y＝5x；當5＜x≤8時，y＝80－5x－－．