Question

已知：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，4），拋物線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B（0，3）．
（1）求拋物線解析式和線段AB的長度；
（2）連結(jié)CA，CB，求△ABC的面積；
（3）點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)的拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交AB于點(diǎn)D．
①求線段PD的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②是否存在點(diǎn)P，使S_△PAB=

5

4

S_△CAB？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+4，將B（0，3）代入，即可求出拋物線的解析式；再將y=0代入，求出x的值，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理即可求出線段AB的長度；
（2）過點(diǎn)C作y軸的平行線，交AB于點(diǎn)E，將x=1代入直線AB的解析式求出E點(diǎn)縱坐標(biāo)，再求出CE的長，根據(jù)三角形面積公式可知△ABC的面積=

1

2

CE•OA；
（3）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，用含m的代數(shù)式分別表示P、D的坐標(biāo)．
①先由PD=y_P-y_D，將PD的長表示為m的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出PD的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②由S_△PAB=

1

2

PD•OA=-

3

2

m²+

9

2

m，根據(jù)S_△PAB=

5

4

S_△CAB，列出方程-

3

2

m²+

9

2

m=

15

4

，整理得2m²-6m+5=0，由于判別式△＜0，所以m無實(shí)數(shù)根，從而得出不存在點(diǎn)P，能夠使S_△PAB=

5

4

S_△CAB．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，4），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+4，
將B（0，3）代入，得a+4=3，
解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4或y=-x²+2x+3；
當(dāng)y=0時(shí)，-（x-1）²+4=0，
解得x=3或x=-1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．
在△OAB中，∵∠AOB=90°，OA=3，OB=3，
∴AB=

OA2+OB2

=3

2

；

（2）如圖，過點(diǎn)C作y軸的平行線，交AB于點(diǎn)E．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（3，0），B（0，3），
∴

3k+b=0 b=3

，解得

k=-1 b=3

，
∴直線AB的解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
∴CE=4-2=2，
∴△ABC的面積=

1

2

CE•OA=

1

2

×2×3=3；

（3）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則P（m，-m²+2m+3），D（m，-m+3），0＜m＜3．
①∵PD=（-m²+2m+3）-（-m+3）=-m²+3m=-（m-

3

2

）²+

9

4

，
∴當(dāng)m=

3

2

時(shí)，PD有最大值

9

4

，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

2

，

15

4

）；

②∵S_△PAB=

1

2

PD•OA=

1

2

（-m²+3m）×3=-

3

2

m²+

9

2

m，

5

4

S_△CAB=

5

4

×3=

15

4

，
∴當(dāng)S_△PAB=

5

4

S_△CAB時(shí)，-

3

2

m²+

9

2

m=

15

4

，
整理，得2m²-6m+5=0，
∵△=36-4×2×5=-4＜0，
∴m無實(shí)數(shù)根，即不存在點(diǎn)P，能夠使S_△PAB=

5

4

S_△CAB．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段的長度、三角形的面積求法．綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．