Question

（2012•揚(yáng)州）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AD垂直于過點(diǎn)C的切線，垂足為D．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若AC=2

5

，CD=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)判斷出AD∥OC，得到∠DAC=∠OCA，再根據(jù)OA=OC得到∠OAC=∠OCA，可得AC平分∠BAD．
（2）連接BC，得到△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AB的長．

解答：（1）證明：如圖，連接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CF，
∴∠ADC=∠OCF=90°，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD．

（2）解：連接BC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AC

AB

=

AD

AC

，
在Rt△ADC中，AC=2

5

，CD=2，
∴AD=4，
∴

2 5

AB

=

4

2 5

，
∴AB=5．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的題目，作出相應(yīng)輔助線是解題的關(guān)鍵．