Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的⊙O的半徑為

2

-1，直線l：y=-x-

2

與坐標(biāo)軸分別交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），⊙B與x軸相切于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及∠CAO的度數(shù)；
（2）⊙B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿想x軸負(fù)方向平移，同時(shí)，直線l繞點(diǎn)A以每秒鐘旋轉(zhuǎn)30°的速度順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)⊙B第一次與⊙O相切時(shí)，請(qǐng)判斷直線ι與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知直線l的解析式，分別令x=0和y=0，即可求出A、C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定∠CAO的度數(shù)．
（2）當(dāng)⊙B第一次與⊙O相切時(shí)，即兩圓外切，d=

2

-1+1=

2

，所以⊙B的圓心的坐標(biāo)應(yīng)為（1，1），所以第一次相切，是經(jīng)過了3s，又因?yàn)橹本�ι繞點(diǎn)A以每秒鐘旋轉(zhuǎn)30°的速度順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，所以3s鐘轉(zhuǎn)了90°，此時(shí)，點(diǎn)B到直線的距離等于半徑1，所以直線與⊙B相切．

解答：解：（1）∵直線l的解析式是y=-x-

2

，
∴直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-

2

），
令y=0，則-x-

2

=0，解得，x=-

2

，
∴直線與x軸的交點(diǎn)是（-

2

，0）
∴OA=OC，所以∠CAO=45°．

（2）如圖示，連接MB并延長(zhǎng)，交旋轉(zhuǎn)后的直線l于點(diǎn)N，過B作BP⊥AN于P，
當(dāng)⊙B第一次與⊙O相切時(shí)，即兩圓外切，
∴d=

2

-1+1=

2

，
∴⊙B的圓心的坐標(biāo)應(yīng)為（1，1），
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）
∴第一次相切，是經(jīng)過了3s，
又∵直線l繞點(diǎn)A以每秒鐘旋轉(zhuǎn)30°的速度順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，
∴3s鐘轉(zhuǎn)了90°，
由題意知，NM=AM=AO+OM=

2

+1，
∴NB=

2

，
∴BP=1，
即d=r=1，
此時(shí)，點(diǎn)B到直線的距離等于半徑1，所以直線與⊙B相切．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合函數(shù)知識(shí)，考查了直線與圓的位置關(guān)系，判定直線與圓的位置關(guān)系，首先要確定圓心與直線的距離，然后用這個(gè)距離與半徑進(jìn)行比較．