Question

已知二次函數(shù)y₁=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過三點(diǎn)（1，0），（-3，0），（0，-

3

2

）．
（1）求二次函數(shù)的解析式，并在給定的直角坐標(biāo)系中作出這個(gè)函數(shù)的圖象；
（2）若反比例函數(shù)y₂=

2

x

（x＞0）的圖象與二次函數(shù)y₁=ax²+bx+c（a≠0）的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A（x₀，y₀），x₀落在兩個(gè)相鄰的正整數(shù)之間，請你觀察圖象，寫出這兩個(gè)相鄰的正整數(shù)；
（3）若反比例函數(shù)y₂=

k

x

（x＞0，k＞0）的圖象與二次函數(shù)y₁=ax²+bx+c（a≠0）的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x₀滿足2＜x₀＜3，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線與x軸的交點(diǎn)，可用交點(diǎn)式來設(shè)二次函數(shù)的解析式．然后將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出函數(shù)的解析式．
（2）可根據(jù)（1）的拋物線的解析式和反比例函數(shù)的解析式來聯(lián)立方程組，求出的方程組的解就是兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后找出第一象限內(nèi)交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出符合條件的x₀的值，進(jìn)而可寫出所求的兩個(gè)正整數(shù)．
（3）點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x₀滿足2＜x₀＜3，可通過x=2，x=3兩個(gè)點(diǎn)上拋物線與反比例函數(shù)的大小關(guān)系即可求出k的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）（x+3），
將（0，-

3

2

）代入，解得a=

1

2

．
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²+x-

3

2

．


（2）正確的畫出反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，
由圖象可知，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₀落在1和2之間，從而得出這兩個(gè)相鄰的正整數(shù)為1與2．

（3）由函數(shù)圖象或函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)2＜x＜3時(shí)，
對y₁=

1

2

x²+x-

3

2

，y₁隨著x增大而增大，
對y₂=

k

x

（k＞0），y₂隨著x的增大而減小．
因?yàn)锳（x₀，y₀）為二次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
所以當(dāng)x₀=2時(shí)，由反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)上方得y₂＞y₁，
即

k

2

＞

1

2

×2²+2-

3

2

，
解得k＞5．
同理，當(dāng)x₀=3時(shí)，由二次函數(shù)圖象在反比例上方得y₁＞y₂，
即

1

2

×3²+3-

3

2

＞

k

3

，
解k＜18，
所以K的取值范圍為5＜k＜18．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)和反比例函數(shù)的相關(guān)知識以及在直角坐標(biāo)系中作圖、讀圖的能力．