Question

．（13分）已知拋物線y＝ax 2＋bx＋c經(jīng)過O（0，0），A（4，0），B（3，）三點，連接AB，過點B作BC∥軸交拋物線于點C．動點E、F分別從O、A兩點同時出發(fā)，其中點E沿線段OA以每秒1個單位長度的速度向A點運動，點F沿折線A→B→C以每秒1個單位長度的速度向C點運動．設(shè)動點運動的時間為t（秒）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）記△EFA的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值，指出此時△EFA的形狀；
（3）是否存在這樣的t值，使△EFA是直角三角形？若存在，求出此時E、F兩點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

見解析

解析
（1）根據(jù)題意得
       解得：
                 ------------4分
（2）過點B作BM⊥x軸于M，
則BM=,OM=3,∵OM=4,∴AM=1
AB=
∵∴∠BAM=60°
當(dāng)0<t《2時，AF=t,過點F作FH⊥x軸，
∵FN=Afsin60°=,

當(dāng)2<t《4時，如圖，

當(dāng)0<t《2時，當(dāng)時，
當(dāng)2<t《4時,s<
∴當(dāng)x=2時，
,此時AE=AF=2又∵∠EAF=60°. ∴△AEF為等邊三角形. -----------10分
(3)當(dāng)0≤t≤2時，
若∠EFA=90°,此時∠FEA=30°, ∴EA=2AF，4-t="2t," ∴.此時E
當(dāng)∠FEA=90°時，此時∠EFA=30°, ∴2EA=AF，∴t=2(4-t)
∴>2, ∴這種情況不存在。
當(dāng)2<t《4時，有t-2+t=3
∴t=2.5
E(2.5,0),   F(2.5,).   ------------13分