Question

【題目】如圖，在直角中，，，作的平分線交于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心經(jīng)過、兩點(diǎn)畫圓分別與、相交于點(diǎn)、（異于點(diǎn)）．

（1）求證：是的切線；

（2）若點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，求的長；

（3）若的長為．

①求的半徑長；

②點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱后得到點(diǎn)，求與的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）①或；②或

【解析】

（1）連接DO，如圖，先根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，得出∠1=∠3，從而得到DO∥BC，再根據(jù)∠C=90°，可得出結(jié)果；

（2）連接FO，根據(jù)E為中點(diǎn)，可以得出，在Rt△AOD中，可以求出sinA的值，從而得出∠A的度數(shù)，再證明△BOF為等邊三角形，從而得出∠BOF的度數(shù)，根據(jù)弧長公式可得出結(jié)果；

（3）①設(shè)圓的半徑為r，過作于，則，四邊形是矩形．再證明，得出，據(jù)此列方程求解；

②作出點(diǎn)F關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接DE，DF，DF′，FF′，再證明，最后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求解．

（1）證明：連結(jié)，

∵平分，∴，

∵，∴．∴．∴．

∵，∴．

∴是的切線．

（2）解：∵是中點(diǎn)，∴．

∴，∴，．

連接FO，

又BO=OF，∴△BOF為等邊三角形，

∴．

∴．

（3）解：①過作于，則，四邊形是矩形．

設(shè)圓的半徑為，則，．

∵，∴．

而，∴．

∴即，

解之得，．

②作出點(diǎn)F關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接FF′，DE，DF，DF′，

∵∠EBD=∠FBD，∴．

∵是直徑，∴，

而、關(guān)于軸對(duì)稱，∴，，DF=DF′，

∴DE∥FF′，DE=DF′，∠DEF′=∠DF′E，

∴，

∴.

當(dāng)時(shí)，，，，

由①知，而，

∴.

又易得△BCD∽△BDE,∴，∴BD2=.

在Rt△BED中，DE2=BE2-BD2=4-=，∴DE==DF′.

∴與的面積比．

同理可得，當(dāng)時(shí)，與的面積比．

∴與的面積比為或．