Question

已知：在Rt△ABO中，∠OAB=90°,∠BOA=30°，AB=2，若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，將Rt△ABO沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3分）

（2）若拋物線經(jīng)過C、A兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；（4分）

（3）若上述拋物線的對(duì)稱軸與OB交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段DB上一動(dòng)點(diǎn)，過P作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為很等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由. （5分）

 

Answer 1

（1）過點(diǎn)C作CH⊥軸，垂足為H

 ∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90⁰，∠BOA＝30⁰，AB＝2    ∴OB＝4，OA＝

 由折疊知，∠COB＝30⁰，OC＝OA＝

∴∠COH＝60⁰，OH＝，CH＝3    ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）   （3分）

（2）∵拋物線（≠0）經(jīng)過C（，3）、A（，0）兩點(diǎn)

               ∴      解得：

    ∴此拋物線的解析式為：    （7分）

（3）存在.  因?yàn)?sub>的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）即為點(diǎn)C，MP⊥軸，設(shè)垂足為N，PN＝，因?yàn)椤螧OA＝30⁰，所以O(shè)N＝ ，  ∴P（，）

        作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E

把代入得：

         ∴ M（，），E（，）

         同理：Q（，），D（，1）

         要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD

         即，解得：，（舍）

        ∴ P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

∴ 存在滿足條件的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時(shí)P點(diǎn)的坐為（，）      （12分）