Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)點(diǎn)（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不相等）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點(diǎn)叫做這個(gè)點(diǎn)的“互換點(diǎn)”，如（－3，5）與（5，－3）是一對(duì)“互換點(diǎn)”。

（1）任意一對(duì)“互換點(diǎn)”________（填“都能”或“都不能”）在一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上；

（2）M、N是一對(duì)“互換點(diǎn)”，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，－5），求直線MN的表達(dá)式；

（3）在拋物線的圖象上有一對(duì)“互換點(diǎn)”A、B，其中點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，直線AB經(jīng)過點(diǎn)P（，），求此拋物線的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】（1）不一定；（2）y=－x－3；（3）.

【解析】

（1）設(shè)這一對(duì)“互換點(diǎn)”的坐標(biāo)為（a，b）和（b，a）．①當(dāng)ab=0時(shí)，它們不可能在反比例函數(shù)的圖象上，②當(dāng)ab≠0時(shí)，由b＝可得a＝，于是得到結(jié)論；

（2）把M（2，-5），N（-5，2）代入y=cx+d，即可得到結(jié)論；

（3）設(shè)點(diǎn)A（p，q），則q＝，由直線AB經(jīng)過點(diǎn)P（，），得到p+q=1，得到q=-1或q=2，將這一對(duì)“互換點(diǎn)”代入y=x2+bx+c得，于是得到結(jié)論．

（1）不一定，

設(shè)這一對(duì)“互換點(diǎn)”的坐標(biāo)為（a，b）和（b，a）．

①當(dāng)ab=0時(shí)，它們不可能在反比例函數(shù)的圖象上，

②當(dāng)ab≠0時(shí)，由b＝可得a＝，即（a，b）和（b，a）都在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上；

（2）由M（2，-5）得N（-5，2），設(shè)直線MN的表達(dá)式為y=cx+d（c≠0）．

則有

解得，，

∴直線MN的表達(dá)式為y=-x-3；

（3）設(shè)點(diǎn)A（p，q），則q＝，

∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)P（，），由（2）得＝+p+q，

∴p+q=1，

∴p＝1，

解并檢驗(yàn)得：p=2或p=-1，

∴q=-1或q=2，

∴這一對(duì)“互換點(diǎn)”是（2，-1）和（-1，2），

將這一對(duì)“互換點(diǎn)”代入y=x2+bx+c得，

∴，解得，

∴此拋物線的表達(dá)式為y=x2-2x-1．