Question

．（10分）如圖，已知拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

【小題1】（1）求拋物線(xiàn)的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
【小題2】（2）設(shè)直線(xiàn)交軸于點(diǎn)．在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于點(diǎn)到原點(diǎn)的距離？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【小題3】（3）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，將拋物線(xiàn)沿其對(duì)稱(chēng)軸平移，使拋物線(xiàn)與線(xiàn)段總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線(xiàn)向上最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？向下最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？

Answer 1

【小題1】（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，把代入得．
，
頂點(diǎn)
【小題2】（2）假設(shè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在，依題意設(shè)，
由求得直線(xiàn)的解析式為，
它與軸的夾角為，設(shè)的中垂線(xiàn)交于，則．
則，點(diǎn)到的距離為．
又．
．
平方并整理得：
．
存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，的坐標(biāo)為
【小題3】（3）由上求得．
①若拋物線(xiàn)向上平移，可設(shè)解析式為．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
或．
．
②若拋物線(xiàn)向下移，可設(shè)解析式為．
由，
有．
，．
向上最多可平移72個(gè)單位長(zhǎng)，向下最多可平移個(gè)單位長(zhǎng)．

解析