Question

（2008•孝感）銳角△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，兩動點M，N分別在邊AB，AC上滑動，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設(shè)其邊長為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y（y＞0）
（1）△ABC中邊BC上高AD=______；
（2）當(dāng)x=______時，PQ恰好落在邊BC上（如圖1）；
（3）當(dāng)PQ在△ABC外部時（如圖2），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（注明x的取值范圍），并求出x為何值時y最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）本題利用矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)MN∥BC，得△AMN∽△ABC，求出△ABC中邊BC上高AD的長度．
（2）因為正方形的位置在變化，但是△AMN∽△ABC沒有改變，利用相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比，得出等量關(guān)系，代入解析式，
（3）用含x的式子表示矩形MEFN邊長，從而求出面積的表達(dá)式．
解答：解：（1）由BC=6，S_△ABC=12，得AD=4；

（2）當(dāng)PQ恰好落在邊BC上時，
∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC．
∴，
即=，x=2.4（或）；

（3）設(shè)BC分別交MP，NQ于E，F(xiàn)，則四邊形MEFN為矩形．
設(shè)ME=NF=h，AD交MN于G（如圖2）GD=NF=h，AG=4-h．
∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴，即，
∴．
∴y=MN•NF=x（-x+4）=-x²+4x（2.4＜x＜6），
配方得：y=-（x-3）²+6．
∴當(dāng)x=3時，y有最大值，最大值是6．
點評：本題結(jié)合相似三角形的性質(zhì)及矩形面積計算方法，考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時，要始終抓住相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比，表示相關(guān)邊的長度．