Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，，，E是AB上一點(diǎn)，連接CE，現(xiàn)將向上方翻折，折痕為CE，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處．

（1）當(dāng)點(diǎn)P落在CD上時(shí)，_____；當(dāng)點(diǎn)P在矩形內(nèi)部時(shí)，BE的取值范圍是_____．

（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)：①畫(huà)出翻折后的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；②連接PD，求證：；

（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)Р在矩形ABCD的對(duì)角線上時(shí)，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）12，0＜BE＜12；（2）①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析；（3）6或9．

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)得到推出△BCE是等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；
（2）①由題意畫(huà)出圖形即可；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠PAC=∠DCA，設(shè)AP與CD相交于O，于是得到OA=OC，求得∠OAC=∠OPD，根據(jù)平行線的判定定理得到結(jié)論；
（3）分兩種情形，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AC或?qū)�角線BD上時(shí)，兩種情形分別求解即可．

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，如圖1，

∵將∠B向右上方翻折，折痕為CE，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，
∴∠BCE=∠ECP=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=BC=AD=12，
當(dāng)點(diǎn)P在矩形內(nèi)部時(shí)，BE的取值范圍是0＜BE＜12；
故答案為：12，0＜BE＜12；
（2）①補(bǔ)全圖形如圖2所示，

②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖3，連接PD，設(shè)CD交PA于點(diǎn)O．

由折疊得，AB=AP=CD，
在△ADC與△CPA中， ，
∴△ADC≌△CPA，
∴∠PAC=∠DCA，
設(shè)AP與CD相交于O，則OA=OC，
∴OD=OP，∠ODP=∠OPD，
∵∠AOC=∠DOP，
∴∠OAC=∠OPD
∴PD∥AC；
（3）如圖4中，當(dāng)點(diǎn)P落在對(duì)角線AC上時(shí)，

由折疊得，BC=PC=12，AC= =20，
∴PA=8，設(shè)BE=PE=x，
在Rt△APE中，（16-x）2=x2+82，
解得x=6．
∴BE=6．
如圖5中，當(dāng)點(diǎn)P落在對(duì)角線BD上時(shí)，設(shè)BD交CE于點(diǎn)M．

由折疊得，BE=PE，∠BEC=∠PEC，

∵EM=EM，

∴△MBE∽△MEP，

∴∠EMB=∠EMP，

∵∠EMB+∠EMP=180°，

∴EC⊥BD，

∴∠BCE=∠ABD，

∵∠A=∠ABC=90°，

∴△CBE∽△BAD，
∴ ，
∴ ，
∴BE=9，
綜上所述，滿足條件的BE的值為6或9．