Question

已知：如圖，直線與雙曲線交于A、B兩點，且點A的坐標為（6，m）．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）點C（n，4）在雙曲線上，求△AOC的面積；
（3）在（2）的條件下，在x軸上找出一點P，使△AOC的面積等于△AOP的面積的三倍．請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵點A（6，m）在直線y=x上，
∴m=×6=2，
∵點A（6，2）在雙曲線上，
∴，解得k=12，
∴雙曲線的解析式為y=；

（2）作CD⊥x軸于D點，AE⊥x軸于E點，如圖，
∵點C（n，4）在雙曲線上，
∴，解得n=3，即點C的坐標為（3，4），
∵點A，C都在雙曲線上，
∴S_△OCD=S_△AOE=×12=6，
∴S_△AOC=S_{四邊形COEA}-S_△AOE=S_{四邊形COEA}-S_△COD=S_梯形CDEA，
∴S_△AOC=（CD+AE）•DE=（4+2）×（6-3）=9；
（3）∵S_△AOC=9，
∴S_△AOP=3，
設(shè)P點坐標為（x，0），而A點坐標為（6，2），
∴S_△AOP=×2×|x|=3，解得x=±3，
∴P（3，0）或P（-3，0）．
分析：（1）先把點A（6，m）代入y=x可求出m確定A點坐標，然后把A點坐標再代入即可求出k的值，從而確定雙曲線的解析式；
（2）作CD⊥x軸于D點，AE⊥x軸于E點，先把點C（n，4）代入可求出n的值，則可確定點C的坐標為（3，4），根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到S_△OCD=S_△AOE=×12=6，然后利用
S_△AOC=S_{四邊形COEA}-S_△AOE=S_{四邊形COEA}-S_△COD=S_梯形CDEA，進行計算；
（3）由（2）得到S_△AOC=9，則S_△AOP=3，而A點坐標為（6，2），設(shè)P點坐標為（x，0），則×2×|x|=3，解出x即可得到P點坐標．
點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及三角形的面積公式．